Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59604 / 58659
↖ ↑ ↗
← S 80.447666°
E147.414551°		 ← 101.36 m → S 80.447666°
E147.420044°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 80.448577°
E147.414551°		 ← 101.35 m →
10 274 m²		 S 80.448577°
E147.420044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909492492675781 y=0.895072937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909492492675781 × 216)
    floor (0.909492492675781 × 65536)
    floor (59604.5)     		tx = 59604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895072937011719 × 216)
    floor (0.895072937011719 × 65536)
    floor (58659.5)     		ty = 58659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59604 / 58659 ti = "16/59604/58659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59604/58659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59604 ÷ 216
    59604 ÷ 65536     		x = 0.90948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58659 ÷ 216
    58659 ÷ 65536     		y = 0.895065307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90948486328125 × 2 - 1) × π
    0.8189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57286928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895065307617188 × 2 - 1) × π
    -0.790130615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48226853612575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57286928} λ = 2.57286928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48226853612575))-π/2
    2×atan(0.0835534663788479)-π/2
    2×0.0833598427889055-π/2
    0.166719685577811-1.57079632675     		φ = -1.40407664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57286928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40407664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.447666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59604 KachelY 58659 2.57286928 -1.40407664 147.414551 -80.447666
    Oben rechts KachelX + 1 59605 KachelY 58659 2.57296515 -1.40407664 147.420044 -80.447666
    Unten links KachelX 59604 KachelY + 1 58660 2.57286928 -1.40409255 147.414551 -80.448577
    Unten rechts KachelX + 1 59605 KachelY + 1 58660 2.57296515 -1.40409255 147.420044 -80.448577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40407664--1.40409255) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dl = 101.362610000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40407664--1.40409255) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dr = 101.362610000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57286928-2.57296515) × cos(-1.40407664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165948417900803 × 6371000     		do = 101.359264104657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57286928-2.57296515) × cos(-1.40409255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16593272848095 × 6371000     		du = 101.349681198893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40407664)-sin(-1.40409255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165948417900803-0.16593272848095)×R²
    abs(2.57296515-2.57286928)×1.56894198529434e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56894198529434e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56894198529434e-05×40589641000000     		ar = 10273.553883515m²