Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59603 / 58542
↖ ↑ ↗
← S 80.340419°
E147.409057°		 ← 102.50 m → S 80.340419°
E147.414551°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
S 80.341340°
E147.409057°		 ← 102.49 m →
10 500 m²		 S 80.341340°
E147.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909477233886719 y=0.893287658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909477233886719 × 216)
    floor (0.909477233886719 × 65536)
    floor (59603.5)     		tx = 59603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893287658691406 × 216)
    floor (0.893287658691406 × 65536)
    floor (58542.5)     		ty = 58542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59603 / 58542 ti = "16/59603/58542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59603/58542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59603 ÷ 216
    59603 ÷ 65536     		x = 0.909469604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58542 ÷ 216
    58542 ÷ 65536     		y = 0.893280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909469604492188 × 2 - 1) × π
    0.818939208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57277340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.78656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47105130161465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57277340} λ = 2.57277340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47105130161465))-π/2
    2×atan(0.0844959815294219)-π/2
    2×0.0842957502213161-π/2
    0.168591500442632-1.57079632675     		φ = -1.40220483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57277340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.409057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40220483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.340419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59603 KachelY 58542 2.57277340 -1.40220483 147.409057 -80.340419
    Oben rechts KachelX + 1 59604 KachelY 58542 2.57286928 -1.40220483 147.414551 -80.340419
    Unten links KachelX 59603 KachelY + 1 58543 2.57277340 -1.40222091 147.409057 -80.341340
    Unten rechts KachelX + 1 59604 KachelY + 1 58543 2.57286928 -1.40222091 147.414551 -80.341340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40220483--1.40222091) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40220483--1.40222091) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57277340-2.57286928) × cos(-1.40220483) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167793982404087 × 6371000     		do = 102.497202486563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57277340-2.57286928) × cos(-1.40222091) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167778130363299 × 6371000     		du = 102.487519243987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40220483)-sin(-1.40222091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167793982404087-0.167778130363299)×R²
    abs(2.57286928-2.57277340)×1.58520407879947e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.58520407879947e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.58520407879947e-05×40589641000000     		ar = 10499.899604252m²