Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59602 / 59599
↖ ↑ ↗
← S 81.267551°
E147.403565°		 ← 92.73 m → S 81.267551°
E147.409057°		 →
↑
92.70 m
↓
↑
92.70 m
↓
S 81.268385°
E147.403565°		 ← 92.72 m →
8 595 m²		 S 81.268385°
E147.409057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909461975097656 y=0.909416198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909461975097656 × 216)
    floor (0.909461975097656 × 65536)
    floor (59602.5)     		tx = 59602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909416198730469 × 216)
    floor (0.909416198730469 × 65536)
    floor (59599.5)     		ty = 59599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59602 / 59599 ti = "16/59602/59599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59602/59599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59602 ÷ 216
    59602 ÷ 65536     		x = 0.909454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59599 ÷ 216
    59599 ÷ 65536     		y = 0.909408569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909454345703125 × 2 - 1) × π
    0.81890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57267753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909408569335938 × 2 - 1) × π
    -0.818817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57238990741145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57267753} λ = 2.57267753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57238990741145))-π/2
    2×atan(0.0763528509550532)-π/2
    2×0.0762049949130722-π/2
    0.152409989826144-1.57079632675     		φ = -1.41838634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57267753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.403565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41838634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.267551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59602 KachelY 59599 2.57267753 -1.41838634 147.403565 -81.267551
    Oben rechts KachelX + 1 59603 KachelY 59599 2.57277340 -1.41838634 147.409057 -81.267551
    Unten links KachelX 59602 KachelY + 1 59600 2.57267753 -1.41840089 147.403565 -81.268385
    Unten rechts KachelX + 1 59603 KachelY + 1 59600 2.57277340 -1.41840089 147.409057 -81.268385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41838634--1.41840089) × R
    1.45499999999466e-05 × 6371000     		dl = 92.6980499996595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41838634--1.41840089) × R
    1.45499999999466e-05 × 6371000     		dr = 92.6980499996595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57267753-2.57277340) × cos(-1.41838634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151820621437072 × 6371000     		do = 92.7301788075617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57267753-2.57277340) × cos(-1.41840089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151806240083687 × 6371000     		du = 92.7213948527976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41838634)-sin(-1.41840089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151820621437072-0.151806240083687)×R²
    abs(2.57277340-2.57267753)×1.43813533857728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43813533857728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43813533857728e-05×40589641000000     		ar = 8595.49962392241m²