Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59602 / 35153
↖ ↑ ↗
← N 63.761851°
W 16.298218°		 ← 135 m → N 63.761851°
W 16.295471°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
N 63.760636°
W 16.298218°		 ← 135.01 m →
18 234 m²		 N 63.760636°
W 16.295471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454730987548828 y=0.268199920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454730987548828 × 217)
    floor (0.454730987548828 × 131072)
    floor (59602.5)     		tx = 59602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268199920654297 × 217)
    floor (0.268199920654297 × 131072)
    floor (35153.5)     		ty = 35153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59602 / 35153 ti = "17/59602/35153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59602/35153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59602 ÷ 217
    59602 ÷ 131072     		x = 0.454727172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35153 ÷ 217
    35153 ÷ 131072     		y = 0.268196105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454727172851562 × 2 - 1) × π
    -0.090545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28445756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268196105957031 × 2 - 1) × π
    0.463607788085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.45646682115617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28445756} λ = -0.28445756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45646682115617))-π/2
    2×atan(4.29077264801798)-π/2
    2×1.34182528141832-π/2
    2.68365056283664-1.57079632675     		φ = 1.11285424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28445756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.298218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11285424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.761851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59602 KachelY 35153 -0.28445756 1.11285424 -16.298218 63.761851
    Oben rechts KachelX + 1 59603 KachelY 35153 -0.28440963 1.11285424 -16.295471 63.761851
    Unten links KachelX 59602 KachelY + 1 35154 -0.28445756 1.11283304 -16.298218 63.760636
    Unten rechts KachelX + 1 59603 KachelY + 1 35154 -0.28440963 1.11283304 -16.295471 63.760636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11285424-1.11283304) × R
    2.12000000001655e-05 × 6371000     		dl = 135.065200001055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11285424-1.11283304) × R
    2.12000000001655e-05 × 6371000     		dr = 135.065200001055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28445756--0.28440963) × cos(1.11285424) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.442103169938668 × 6371000     		do = 135.001521441833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28445756--0.28440963) × cos(1.11283304) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.442122185480488 × 6371000     		du = 135.007328066285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11285424)-sin(1.11283304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442103169938668-0.442122185480488)×R²
    abs(-0.28440963--0.28445756)×1.90155418198779e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90155418198779e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90155418198779e-05×40589641000000     		ar = 18234.399631165m²