Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59601 / 85902
↖ ↑ ↗
← S 48.716337°
W 16.300964°		 ← 201.52 m → S 48.716337°
W 16.298218°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
S 48.718149°
W 16.300964°		 ← 201.51 m →
40 608 m²		 S 48.718149°
W 16.298218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454723358154297 y=0.655384063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454723358154297 × 217)
    floor (0.454723358154297 × 131072)
    floor (59601.5)     		tx = 59601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655384063720703 × 217)
    floor (0.655384063720703 × 131072)
    floor (85902.5)     		ty = 85902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59601 / 85902 ti = "17/59601/85902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59601/85902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59601 ÷ 217
    59601 ÷ 131072     		x = 0.454719543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85902 ÷ 217
    85902 ÷ 131072     		y = 0.655380249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454719543457031 × 2 - 1) × π
    -0.0905609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28450550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655380249023438 × 2 - 1) × π
    -0.310760498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.976282897662064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28450550} λ = -0.28450550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976282897662064))-π/2
    2×atan(0.376708764638498)-π/2
    2×0.360267923041547-π/2
    0.720535846083094-1.57079632675     		φ = -0.85026048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28450550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.300964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85026048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.716337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59601 KachelY 85902 -0.28450550 -0.85026048 -16.300964 -48.716337
    Oben rechts KachelX + 1 59602 KachelY 85902 -0.28445756 -0.85026048 -16.298218 -48.716337
    Unten links KachelX 59601 KachelY + 1 85903 -0.28450550 -0.85029211 -16.300964 -48.718149
    Unten rechts KachelX + 1 59602 KachelY + 1 85903 -0.28445756 -0.85029211 -16.298218 -48.718149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85026048--0.85029211) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85026048--0.85029211) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28450550--0.28445756) × cos(-0.85026048) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659787429977392 × 6371000     		do = 201.516064043644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28450550--0.28445756) × cos(-0.85029211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659763661211354 × 6371000     		du = 201.508804450688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85026048)-sin(-0.85029211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659787429977392-0.659763661211354)×R²
    abs(-0.28445756--0.28450550)×2.3768766038379e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3768766038379e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3768766038379e-05×40589641000000     		ar = 40607.7237823275m²