Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59601 / 59598
↖ ↑ ↗
← S 81.266717°
E147.398072°		 ← 92.74 m → S 81.266717°
E147.403565°		 →
↑
92.76 m
↓
↑
92.76 m
↓
S 81.267551°
E147.398072°		 ← 92.73 m →
8 602 m²		 S 81.267551°
E147.403565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909446716308594 y=0.909400939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909446716308594 × 216)
    floor (0.909446716308594 × 65536)
    floor (59601.5)     		tx = 59601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909400939941406 × 216)
    floor (0.909400939941406 × 65536)
    floor (59598.5)     		ty = 59598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59601 / 59598 ti = "16/59601/59598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59601/59598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59601 ÷ 216
    59601 ÷ 65536     		x = 0.909439086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59598 ÷ 216
    59598 ÷ 65536     		y = 0.909393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909439086914062 × 2 - 1) × π
    0.818878173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57258166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.81878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57229403361221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57258166} λ = 2.57258166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57229403361221))-π/2
    2×atan(0.0763601715438778)-π/2
    2×0.076212273067948-π/2
    0.152424546135896-1.57079632675     		φ = -1.41837178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57258166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.398072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41837178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.266717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59601 KachelY 59598 2.57258166 -1.41837178 147.398072 -81.266717
    Oben rechts KachelX + 1 59602 KachelY 59598 2.57267753 -1.41837178 147.403565 -81.266717
    Unten links KachelX 59601 KachelY + 1 59599 2.57258166 -1.41838634 147.398072 -81.267551
    Unten rechts KachelX + 1 59602 KachelY + 1 59599 2.57267753 -1.41838634 147.403565 -81.267551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41837178--1.41838634) × R
    1.45600000001078e-05 × 6371000     		dl = 92.7617600006869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41837178--1.41838634) × R
    1.45600000001078e-05 × 6371000     		dr = 92.7617600006869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57258166-2.57267753) × cos(-1.41837178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151835012642376 × 6371000     		do = 92.7389687797567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57258166-2.57267753) × cos(-1.41838634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151820621437072 × 6371000     		du = 92.7301788075617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41837178)-sin(-1.41838634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151835012642376-0.151820621437072)×R²
    abs(2.57267753-2.57258166)×1.43912053036654e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43912053036654e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43912053036654e-05×40589641000000     		ar = 8602.22227832897m²