Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59601 / 35155
↖ ↑ ↗
← N 63.759422°
W 16.300964°		 ← 135.04 m → N 63.759422°
W 16.298218°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
N 63.758208°
W 16.300964°		 ← 135.05 m →
18 240 m²		 N 63.758208°
W 16.298218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454723358154297 y=0.268215179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454723358154297 × 217)
    floor (0.454723358154297 × 131072)
    floor (59601.5)     		tx = 59601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268215179443359 × 217)
    floor (0.268215179443359 × 131072)
    floor (35155.5)     		ty = 35155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59601 / 35155 ti = "17/59601/35155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59601/35155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59601 ÷ 217
    59601 ÷ 131072     		x = 0.454719543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35155 ÷ 217
    35155 ÷ 131072     		y = 0.268211364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454719543457031 × 2 - 1) × π
    -0.0905609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28450550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268211364746094 × 2 - 1) × π
    0.463577270507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.45637094735693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28450550} λ = -0.28450550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45637094735693))-π/2
    2×atan(4.29036129506184)-π/2
    2×1.3418040874516-π/2
    2.6836081749032-1.57079632675     		φ = 1.11281185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28450550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.300964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11281185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.759422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59601 KachelY 35155 -0.28450550 1.11281185 -16.300964 63.759422
    Oben rechts KachelX + 1 59602 KachelY 35155 -0.28445756 1.11281185 -16.298218 63.759422
    Unten links KachelX 59601 KachelY + 1 35156 -0.28450550 1.11279065 -16.300964 63.758208
    Unten rechts KachelX + 1 59602 KachelY + 1 35156 -0.28445756 1.11279065 -16.298218 63.758208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11281185-1.11279065) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dl = 135.06519999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11281185-1.11279065) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dr = 135.06519999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28450550--0.28445756) × cos(1.11281185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442141191854146 × 6371000     		do = 135.041300706602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28450550--0.28445756) × cos(1.11279065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442160206998636 × 6371000     		du = 135.047108421179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11281185)-sin(1.11279065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442141191854146-0.442160206998636)×R²
    abs(-0.28445756--0.28450550)×1.90151444900422e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90151444900422e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90151444900422e-05×40589641000000     		ar = 18239.77249879m²