Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59600 / 85069
↖ ↑ ↗
← S 47.184113°
W 16.303711°		 ← 207.58 m → S 47.184113°
W 16.300964°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
S 47.185979°
W 16.303711°		 ← 207.57 m →
43 086 m²		 S 47.185979°
W 16.300964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454715728759766 y=0.649028778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454715728759766 × 217)
    floor (0.454715728759766 × 131072)
    floor (59600.5)     		tx = 59600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649028778076172 × 217)
    floor (0.649028778076172 × 131072)
    floor (85069.5)     		ty = 85069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59600 / 85069 ti = "17/59600/85069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59600/85069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59600 ÷ 217
    59600 ÷ 131072     		x = 0.4547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85069 ÷ 217
    85069 ÷ 131072     		y = 0.649024963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.090576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28455344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649024963378906 × 2 - 1) × π
    -0.298049926757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.936351460278557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28455344} λ = -0.28455344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936351460278557))-π/2
    2×atan(0.392055659685099)-π/2
    2×0.373639103133452-π/2
    0.747278206266903-1.57079632675     		φ = -0.82351812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28455344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.303711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82351812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.184113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59600 KachelY 85069 -0.28455344 -0.82351812 -16.303711 -47.184113
    Oben rechts KachelX + 1 59601 KachelY 85069 -0.28450550 -0.82351812 -16.300964 -47.184113
    Unten links KachelX 59600 KachelY + 1 85070 -0.28455344 -0.82355070 -16.303711 -47.185979
    Unten rechts KachelX + 1 59601 KachelY + 1 85070 -0.28450550 -0.82355070 -16.300964 -47.185979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82351812--0.82355070) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dl = 207.567179999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82351812--0.82355070) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dr = 207.567179999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28455344--0.28450550) × cos(-0.82351812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679644731848338 × 6371000     		do = 207.580995161744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28455344--0.28450550) × cos(-0.82355070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679620832707647 × 6371000     		du = 207.573695749013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82351812)-sin(-0.82355070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679644731848338-0.679620832707647)×R²
    abs(-0.28450550--0.28455344)×2.38991406904532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38991406904532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38991406904532e-05×40589641000000     		ar = 43086.2442316798m²