Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5960 / 6872
↖ ↑ ↗
← N 27.839076°
W 49.042969°		 ← 2 160.50 m → N 27.839076°
W 49.020996°		 →
↑
2 160.66 m
↓
↑
2 160.66 m
↓
N 27.819645°
W 49.042969°		 ← 2 160.89 m →
4 668 526 m²		 N 27.819645°
W 49.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363800048828125 y=0.419464111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363800048828125 × 214)
    floor (0.363800048828125 × 16384)
    floor (5960.5)     		tx = 5960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419464111328125 × 214)
    floor (0.419464111328125 × 16384)
    floor (6872.5)     		ty = 6872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5960 / 6872 ti = "14/5960/6872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5960/6872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5960 ÷ 214
    5960 ÷ 16384     		x = 0.36376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6872 ÷ 214
    6872 ÷ 16384     		y = 0.41943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85596128} λ = -0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506213659987793))-π/2
    2×atan(1.65899775832668)-π/2
    2×1.02833993267461-π/2
    2.05667986534922-1.57079632675     		φ = 0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5960 KachelY 6872 -0.85596128 0.48588354 -49.042969 27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 5961 KachelY 6872 -0.85557778 0.48588354 -49.020996 27.839076
    Unten links KachelX 5960 KachelY + 1 6873 -0.85596128 0.48554440 -49.042969 27.819645
    Unten rechts KachelX + 1 5961 KachelY + 1 6873 -0.85557778 0.48554440 -49.020996 27.819645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48588354-0.48554440) × R
    0.000339140000000016 × 6371000     		dl = 2160.6609400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48588354-0.48554440) × R
    0.000339140000000016 × 6371000     		dr = 2160.6609400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85596128--0.85557778) × cos(0.48588354) × R
    0.000383500000000092 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 2160.50001912438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85596128--0.85557778) × cos(0.48554440) × R
    0.000383500000000092 × 0.884421014194026 × 6371000     		du = 2160.88684892898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48588354)-sin(0.48554440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.884421014194026)×R²
    abs(-0.85557778--0.85596128)×0.000158324073411986×R²
    0.000383500000000092×0.000158324073411986×6371000²
    0.000383500000000092×0.000158324073411986×40589641000000     		ar = 4668525.95096186m²