Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 596 / 460
↖ ↑ ↗
← N 17.978733°
E 29.531250°		 ← 37.183 km → N 17.978733°
E 29.882813°		 →
↑
37.218 km
↓
↑
37.218 km
↓
N 17.644022°
E 29.531250°		 ← 37.253 km →
1 385.19 km²		 N 17.644022°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58251953125 y=0.44970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58251953125 × 210)
    floor (0.58251953125 × 1024)
    floor (596.5)     		tx = 596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44970703125 × 210)
    floor (0.44970703125 × 1024)
    floor (460.5)     		ty = 460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 596 / 460 ti = "10/596/460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/596/460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 596 ÷ 210
    596 ÷ 1024     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 460 ÷ 210
    460 ÷ 1024     		y = 0.44921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44921875 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319068003871094))-π/2
    2×atan(1.37584488450297)-π/2
    2×0.942292207320475-π/2
    1.88458441464095-1.57079632675     		φ = 0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 596 KachelY 460 0.51541754 0.31378809 29.531250 17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 597 KachelY 460 0.52155347 0.31378809 29.882813 17.978733
    Unten links KachelX 596 KachelY + 1 461 0.51541754 0.30794628 29.531250 17.644022
    Unten rechts KachelX + 1 597 KachelY + 1 461 0.52155347 0.30794628 29.882813 17.644022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31378809-0.30794628) × R
    0.00584181 × 6371000     		dl = 37218.17151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31378809-0.30794628) × R
    0.00584181 × 6371000     		dr = 37218.17151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.52155347) × cos(0.31378809) × R
    0.00613593000000001 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 37183.1921466901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.52155347) × cos(0.30794628) × R
    0.00613593000000001 × 0.952958066108848 × 6371000     		du = 37253.0462784966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31378809)-sin(0.30794628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.952958066108848)×R²
    abs(0.52155347-0.51541754)×0.00178691583658364×R²
    0.00613593000000001×0.00178691583658364×6371000²
    0.00613593000000001×0.00178691583658364×40589641000000     		ar = 1385194283.48373m²