Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 596 / 373
↖ ↑ ↗
← N 81.241660°
W127.617187°		 ← 1 488.11 m → N 81.241660°
W127.529297°		 →
↑
1 489.22 m
↓
↑
1 489.22 m
↓
N 81.228267°
W127.617187°		 ← 1 490.36 m →
2 217 800 m²		 N 81.228267°
W127.529297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1456298828125 y=0.0911865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1456298828125 × 212)
    floor (0.1456298828125 × 4096)
    floor (596.5)     		tx = 596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0911865234375 × 212)
    floor (0.0911865234375 × 4096)
    floor (373.5)     		ty = 373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 596 / 373 ti = "12/596/373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/596/373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 596 ÷ 212
    596 ÷ 4096     		x = 0.1455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 373 ÷ 212
    373 ÷ 4096     		y = 0.091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1455078125 × 2 - 1) × π
    -0.708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22734010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091064453125 × 2 - 1) × π
    0.81787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56941781963501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22734010} λ = -2.22734010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56941781963501))-π/2
    2×atan(13.0582199882889)-π/2
    2×1.49436538807066-π/2
    2.98873077614131-1.57079632675     		φ = 1.41793445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22734010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.617187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41793445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.241660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 596 KachelY 373 -2.22734010 1.41793445 -127.617187 81.241660
    Oben rechts KachelX + 1 597 KachelY 373 -2.22580612 1.41793445 -127.529297 81.241660
    Unten links KachelX 596 KachelY + 1 374 -2.22734010 1.41770070 -127.617187 81.228267
    Unten rechts KachelX + 1 597 KachelY + 1 374 -2.22580612 1.41770070 -127.529297 81.228267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41793445-1.41770070) × R
    0.000233750000000033 × 6371000     		dl = 1489.22125000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41793445-1.41770070) × R
    0.000233750000000033 × 6371000     		dr = 1489.22125000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22734010--2.22580612) × cos(1.41793445) × R
    0.00153398000000005 × 0.152267257640206 × 6371000     		do = 1488.10586549118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22734010--2.22580612) × cos(1.41770070) × R
    0.00153398000000005 × 0.152498277802654 × 6371000     		du = 1490.36362243849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41793445)-sin(1.41770070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152267257640206-0.152498277802654)×R²
    abs(-2.22580612--2.22734010)×0.000231020162447637×R²
    0.00153398000000005×0.000231020162447637×6371000²
    0.00153398000000005×0.000231020162447637×40589641000000     		ar = 2217800.03704806m²