Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59596 / 35804
↖ ↑ ↗
← N 62.960218°
W 16.314697°		 ← 138.82 m → N 62.960218°
W 16.311951°		 →
↑
138.82 m
↓
↑
138.82 m
↓
N 62.958969°
W 16.314697°		 ← 138.83 m →
19 272 m²		 N 62.958969°
W 16.311951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454685211181641 y=0.273166656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454685211181641 × 217)
    floor (0.454685211181641 × 131072)
    floor (59596.5)     		tx = 59596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273166656494141 × 217)
    floor (0.273166656494141 × 131072)
    floor (35804.5)     		ty = 35804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59596 / 35804 ti = "17/59596/35804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59596/35804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59596 ÷ 217
    59596 ÷ 131072     		x = 0.454681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35804 ÷ 217
    35804 ÷ 131072     		y = 0.273162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.09063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28474518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273162841796875 × 2 - 1) × π
    0.45367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42525989950351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28474518} λ = -0.28474518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42525989950351))-π/2
    2×atan(4.15893860838414)-π/2
    2×1.33482971393887-π/2
    2.66965942787774-1.57079632675     		φ = 1.09886310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28474518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.314697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09886310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.960218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59596 KachelY 35804 -0.28474518 1.09886310 -16.314697 62.960218
    Oben rechts KachelX + 1 59597 KachelY 35804 -0.28469725 1.09886310 -16.311951 62.960218
    Unten links KachelX 59596 KachelY + 1 35805 -0.28474518 1.09884131 -16.314697 62.958969
    Unten rechts KachelX + 1 59597 KachelY + 1 35805 -0.28469725 1.09884131 -16.311951 62.958969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09886310-1.09884131) × R
    2.17899999999105e-05 × 6371000     		dl = 138.82408999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09886310-1.09884131) × R
    2.17899999999105e-05 × 6371000     		dr = 138.82408999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28474518--0.28469725) × cos(1.09886310) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.454609041709062 × 6371000     		do = 138.820339832558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28474518--0.28469725) × cos(1.09884131) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.454628449760004 × 6371000     		du = 138.826266314392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09886310)-sin(1.09884131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454609041709062-0.454628449760004)×R²
    abs(-0.28469725--0.28474518)×1.94080509413608e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.94080509413608e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.94080509413608e-05×40589641000000     		ar = 19272.0187208035m²