Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59594 / 85284
↖ ↑ ↗
← S 47.583937°
W 16.320191°		 ← 206.01 m → S 47.583937°
W 16.317444°		 →
↑
205.97 m
↓
↑
205.97 m
↓
S 47.585789°
W 16.320191°		 ← 206.01 m →
42 433 m²		 S 47.585789°
W 16.317444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454669952392578 y=0.650669097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454669952392578 × 217)
    floor (0.454669952392578 × 131072)
    floor (59594.5)     		tx = 59594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650669097900391 × 217)
    floor (0.650669097900391 × 131072)
    floor (85284.5)     		ty = 85284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59594 / 85284 ti = "17/59594/85284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59594/85284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59594 ÷ 217
    59594 ÷ 131072     		x = 0.454666137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85284 ÷ 217
    85284 ÷ 131072     		y = 0.650665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454666137695312 × 2 - 1) × π
    -0.090667724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28484106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.30133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946657893696869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28484106} λ = -0.28484106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946657893696869))-π/2
    2×atan(0.388035715360551)-π/2
    2×0.370149980868831-π/2
    0.740299961737661-1.57079632675     		φ = -0.83049637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28484106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.320191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83049637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.583937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59594 KachelY 85284 -0.28484106 -0.83049637 -16.320191 -47.583937
    Oben rechts KachelX + 1 59595 KachelY 85284 -0.28479312 -0.83049637 -16.317444 -47.583937
    Unten links KachelX 59594 KachelY + 1 85285 -0.28484106 -0.83052870 -16.320191 -47.585789
    Unten rechts KachelX + 1 59595 KachelY + 1 85285 -0.28479312 -0.83052870 -16.317444 -47.585789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83049637--0.83052870) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dl = 205.974430000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83049637--0.83052870) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dr = 205.974430000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28484106--0.28479312) × cos(-0.83049637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674509389952615 × 6371000     		do = 206.012529563091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28484106--0.28479312) × cos(-0.83052870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674485521451658 × 6371000     		du = 206.005239508523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83049637)-sin(-0.83052870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674509389952615-0.674485521451658)×R²
    abs(-0.28479312--0.28484106)×2.38685009573691e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38685009573691e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38685009573691e-05×40589641000000     		ar = 42432.5625708915m²