Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59591 / 85817
↖ ↑ ↗
← S 48.562068°
W 16.328430°		 ← 202.13 m → S 48.562068°
W 16.325684°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
S 48.563885°
W 16.328430°		 ← 202.13 m →
40 848 m²		 S 48.563885°
W 16.325684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454647064208984 y=0.654735565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454647064208984 × 217)
    floor (0.454647064208984 × 131072)
    floor (59591.5)     		tx = 59591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654735565185547 × 217)
    floor (0.654735565185547 × 131072)
    floor (85817.5)     		ty = 85817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59591 / 85817 ti = "17/59591/85817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59591/85817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59591 ÷ 217
    59591 ÷ 131072     		x = 0.454643249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85817 ÷ 217
    85817 ÷ 131072     		y = 0.654731750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454643249511719 × 2 - 1) × π
    -0.0907135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28498487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654731750488281 × 2 - 1) × π
    -0.309463500976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.972208261194359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28498487} λ = -0.28498487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972208261194359))-π/2
    2×atan(0.378246847344519)-π/2
    2×0.361614178373501-π/2
    0.723228356747001-1.57079632675     		φ = -0.84756797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28498487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.328430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84756797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.562068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59591 KachelY 85817 -0.28498487 -0.84756797 -16.328430 -48.562068
    Oben rechts KachelX + 1 59592 KachelY 85817 -0.28493693 -0.84756797 -16.325684 -48.562068
    Unten links KachelX 59591 KachelY + 1 85818 -0.28498487 -0.84759969 -16.328430 -48.563885
    Unten rechts KachelX + 1 59592 KachelY + 1 85818 -0.28493693 -0.84759969 -16.325684 -48.563885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84756797--0.84759969) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dl = 202.088120000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84756797--0.84759969) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dr = 202.088120000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28498487--0.28493693) × cos(-0.84756797) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661808328744246 × 6371000     		do = 202.133298544976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28498487--0.28493693) × cos(-0.84759969) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661784548781018 × 6371000     		du = 202.12603553211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84756797)-sin(-0.84759969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661808328744246-0.661784548781018)×R²
    abs(-0.28493693--0.28498487)×2.37799632287761e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37799632287761e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37799632287761e-05×40589641000000     		ar = 40848.0044114557m²