Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59591 / 38584
↖ ↑ ↗
← N 59.277108°
W 16.328430°		 ← 156.04 m → N 59.277108°
W 16.325684°		 →
↑
156.03 m
↓
↑
156.03 m
↓
N 59.275705°
W 16.328430°		 ← 156.04 m →
24 346 m²		 N 59.275705°
W 16.325684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454647064208984 y=0.294376373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454647064208984 × 217)
    floor (0.454647064208984 × 131072)
    floor (59591.5)     		tx = 59591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294376373291016 × 217)
    floor (0.294376373291016 × 131072)
    floor (38584.5)     		ty = 38584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59591 / 38584 ti = "17/59591/38584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59591/38584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59591 ÷ 217
    59591 ÷ 131072     		x = 0.454643249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38584 ÷ 217
    38584 ÷ 131072     		y = 0.29437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454643249511719 × 2 - 1) × π
    -0.0907135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28498487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29437255859375 × 2 - 1) × π
    0.4112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29199531855975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28498487} λ = -0.28498487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29199531855975))-π/2
    2×atan(3.64004235860288)-π/2
    2×1.30268851630988-π/2
    2.60537703261976-1.57079632675     		φ = 1.03458071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28498487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.328430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03458071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.277108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59591 KachelY 38584 -0.28498487 1.03458071 -16.328430 59.277108
    Oben rechts KachelX + 1 59592 KachelY 38584 -0.28493693 1.03458071 -16.325684 59.277108
    Unten links KachelX 59591 KachelY + 1 38585 -0.28498487 1.03455622 -16.328430 59.275705
    Unten rechts KachelX + 1 59592 KachelY + 1 38585 -0.28493693 1.03455622 -16.325684 59.275705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03458071-1.03455622) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dl = 156.025789999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03458071-1.03455622) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dr = 156.025789999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28498487--0.28493693) × cos(1.03458071) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510886419462836 × 6371000     		do = 156.037862720465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28498487--0.28493693) × cos(1.03455622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510907472094597 × 6371000     		du = 156.0442927361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03458071)-sin(1.03455622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510886419462836-0.510907472094597)×R²
    abs(-0.28493693--0.28498487)×2.10526317616644e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10526317616644e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10526317616644e-05×40589641000000     		ar = 24346.4324262681m²