Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59590 / 38598
↖ ↑ ↗
← N 59.257458°
W 16.331177°		 ← 156.13 m → N 59.257458°
W 16.328430°		 →
↑
156.09 m
↓
↑
156.09 m
↓
N 59.256054°
W 16.331177°		 ← 156.13 m →
24 370 m²		 N 59.256054°
W 16.328430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454639434814453 y=0.294483184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454639434814453 × 217)
    floor (0.454639434814453 × 131072)
    floor (59590.5)     		tx = 59590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294483184814453 × 217)
    floor (0.294483184814453 × 131072)
    floor (38598.5)     		ty = 38598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59590 / 38598 ti = "17/59590/38598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59590/38598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59590 ÷ 217
    59590 ÷ 131072     		x = 0.454635620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38598 ÷ 217
    38598 ÷ 131072     		y = 0.294479370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454635620117188 × 2 - 1) × π
    -0.090728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28503281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294479370117188 × 2 - 1) × π
    0.411041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29132420196507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28503281} λ = -0.28503281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29132420196507))-π/2
    2×atan(3.63760028532029)-π/2
    2×1.30251703467379-π/2
    2.60503406934759-1.57079632675     		φ = 1.03423774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28503281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.331177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03423774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.257458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59590 KachelY 38598 -0.28503281 1.03423774 -16.331177 59.257458
    Oben rechts KachelX + 1 59591 KachelY 38598 -0.28498487 1.03423774 -16.328430 59.257458
    Unten links KachelX 59590 KachelY + 1 38599 -0.28503281 1.03421324 -16.331177 59.256054
    Unten rechts KachelX + 1 59591 KachelY + 1 38599 -0.28498487 1.03421324 -16.328430 59.256054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03423774-1.03421324) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dl = 156.089500000598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03423774-1.03421324) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dr = 156.089500000598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28503281--0.28498487) × cos(1.03423774) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511181222960537 × 6371000     		do = 156.127903296906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28503281--0.28498487) × cos(1.03421324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511202279894471 × 6371000     		du = 156.134334626534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03423774)-sin(1.03421324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511181222960537-0.511202279894471)×R²
    abs(-0.28498487--0.28503281)×2.10569339331723e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10569339331723e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10569339331723e-05×40589641000000     		ar = 24370.4282944834m²