Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5959 / 7576
↖ ↑ ↗
← N 13.410994°
W 49.064941°		 ← 2 376.59 m → N 13.410994°
W 49.042969°		 →
↑
2 376.70 m
↓
↑
2 376.70 m
↓
N 13.389620°
W 49.064941°		 ← 2 376.80 m →
5 648 700 m²		 N 13.389620°
W 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363739013671875 y=0.462432861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363739013671875 × 214)
    floor (0.363739013671875 × 16384)
    floor (5959.5)     		tx = 5959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462432861328125 × 214)
    floor (0.462432861328125 × 16384)
    floor (7576.5)     		ty = 7576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5959 / 7576 ti = "14/5959/7576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5959/7576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5959 ÷ 214
    5959 ÷ 16384     		x = 0.36370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7576 ÷ 214
    7576 ÷ 16384     		y = 0.46240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.2725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85634477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    0.0751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.236233041327637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85634477} λ = -0.85634477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236233041327637))-π/2
    2×atan(1.26646941549367)-π/2
    2×0.90243116432628-π/2
    1.80486232865256-1.57079632675     		φ = 0.23406600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85634477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.064941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23406600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.410994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5959 KachelY 7576 -0.85634477 0.23406600 -49.064941 13.410994
    Oben rechts KachelX + 1 5960 KachelY 7576 -0.85596128 0.23406600 -49.042969 13.410994
    Unten links KachelX 5959 KachelY + 1 7577 -0.85634477 0.23369295 -49.064941 13.389620
    Unten rechts KachelX + 1 5960 KachelY + 1 7577 -0.85596128 0.23369295 -49.042969 13.389620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23406600-0.23369295) × R
    0.000373049999999986 × 6371000     		dl = 2376.70154999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23406600-0.23369295) × R
    0.000373049999999986 × 6371000     		dr = 2376.70154999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85634477--0.85596128) × cos(0.23406600) × R
    0.000383489999999931 × 0.972731392460163 × 6371000     		do = 2376.59172475554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85634477--0.85596128) × cos(0.23369295) × R
    0.000383489999999931 × 0.972817847958441 × 6371000     		du = 2376.8029541076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23406600)-sin(0.23369295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972731392460163-0.972817847958441)×R²
    abs(-0.85596128--0.85634477)×8.64554982780152e-05×R²
    0.000383489999999931×8.64554982780152e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.64554982780152e-05×40589641000000     		ar = 5648700.31601673m²