Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59588 / 39233
↖ ↑ ↗
← N 58.354190°
W 16.336670°		 ← 160.25 m → N 58.354190°
W 16.333923°		 →
↑
160.23 m
↓
↑
160.23 m
↓
N 58.352749°
W 16.336670°		 ← 160.25 m →
25 677 m²		 N 58.352749°
W 16.333923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454624176025391 y=0.299327850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454624176025391 × 217)
    floor (0.454624176025391 × 131072)
    floor (59588.5)     		tx = 59588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299327850341797 × 217)
    floor (0.299327850341797 × 131072)
    floor (39233.5)     		ty = 39233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59588 / 39233 ti = "17/59588/39233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59588/39233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59588 ÷ 217
    59588 ÷ 131072     		x = 0.454620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39233 ÷ 217
    39233 ÷ 131072     		y = 0.299324035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.09075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28512868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299324035644531 × 2 - 1) × π
    0.401351928710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.26088427070634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28512868} λ = -0.28512868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26088427070634))-π/2
    2×atan(3.52854029304518)-π/2
    2×1.29463453165021-π/2
    2.58926906330042-1.57079632675     		φ = 1.01847274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28512868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.336670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01847274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.354190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59588 KachelY 39233 -0.28512868 1.01847274 -16.336670 58.354190
    Oben rechts KachelX + 1 59589 KachelY 39233 -0.28508074 1.01847274 -16.333923 58.354190
    Unten links KachelX 59588 KachelY + 1 39234 -0.28512868 1.01844759 -16.336670 58.352749
    Unten rechts KachelX + 1 59589 KachelY + 1 39234 -0.28508074 1.01844759 -16.333923 58.352749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01847274-1.01844759) × R
    2.51499999999183e-05 × 6371000     		dl = 160.230649999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01847274-1.01844759) × R
    2.51499999999183e-05 × 6371000     		dr = 160.230649999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28512868--0.28508074) × cos(1.01847274) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.524666730861863 × 6371000     		do = 160.246724526946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28512868--0.28508074) × cos(1.01844759) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.5246881410849 × 6371000     		du = 160.253263760161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01847274)-sin(1.01844759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524666730861863-0.5246881410849)×R²
    abs(-0.28508074--0.28512868)×2.14102230378099e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14102230378099e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14102230378099e-05×40589641000000     		ar = 25676.960725303m²