Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59587 / 85861
↖ ↑ ↗
← S 48.641984°
W 16.339417°		 ← 201.81 m → S 48.641984°
W 16.336670°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
S 48.643798°
W 16.339417°		 ← 201.81 m →
40 719 m²		 S 48.643798°
W 16.336670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454616546630859 y=0.655071258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454616546630859 × 217)
    floor (0.454616546630859 × 131072)
    floor (59587.5)     		tx = 59587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655071258544922 × 217)
    floor (0.655071258544922 × 131072)
    floor (85861.5)     		ty = 85861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59587 / 85861 ti = "17/59587/85861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59587/85861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59587 ÷ 217
    59587 ÷ 131072     		x = 0.454612731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85861 ÷ 217
    85861 ÷ 131072     		y = 0.655067443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454612731933594 × 2 - 1) × π
    -0.0907745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28517662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655067443847656 × 2 - 1) × π
    -0.310134887695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.974317484777641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28517662} λ = -0.28517662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974317484777641))-π/2
    2×atan(0.377449880959408)-π/2
    2×0.360916779251505-π/2
    0.72183355850301-1.57079632675     		φ = -0.84896277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28517662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.339417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84896277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.641984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59587 KachelY 85861 -0.28517662 -0.84896277 -16.339417 -48.641984
    Oben rechts KachelX + 1 59588 KachelY 85861 -0.28512868 -0.84896277 -16.336670 -48.641984
    Unten links KachelX 59587 KachelY + 1 85862 -0.28517662 -0.84899444 -16.339417 -48.643798
    Unten rechts KachelX + 1 59588 KachelY + 1 85862 -0.28512868 -0.84899444 -16.336670 -48.643798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84896277--0.84899444) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84896277--0.84899444) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28517662--0.28512868) × cos(-0.84896277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660762041299774 × 6371000     		do = 201.813735427762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28517662--0.28512868) × cos(-0.84899444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660738269610609 × 6371000     		du = 201.806474942007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84896277)-sin(-0.84899444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660762041299774-0.660738269610609)×R²
    abs(-0.28512868--0.28517662)×2.37716891651196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37716891651196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37716891651196e-05×40589641000000     		ar = 40719.1381481396m²