Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59587 / 59277
↖ ↑ ↗
← S 80.994873°
E147.321167°		 ← 95.61 m → S 80.994873°
E147.326660°		 →
↑
95.56 m
↓
↑
95.56 m
↓
S 80.995732°
E147.321167°		 ← 95.60 m →
9 137 m²		 S 80.995732°
E147.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909233093261719 y=0.904502868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909233093261719 × 216)
    floor (0.909233093261719 × 65536)
    floor (59587.5)     		tx = 59587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904502868652344 × 216)
    floor (0.904502868652344 × 65536)
    floor (59277.5)     		ty = 59277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59587 / 59277 ti = "16/59587/59277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59587/59277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59587 ÷ 216
    59587 ÷ 65536     		x = 0.909225463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59277 ÷ 216
    59277 ÷ 65536     		y = 0.904495239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909225463867188 × 2 - 1) × π
    0.818450927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57123942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904495239257812 × 2 - 1) × π
    -0.808990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54151854405614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57123942} λ = 2.57123942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54151854405614))-π/2
    2×atan(0.0787467285740478)-π/2
    2×0.0785845607853554-π/2
    0.157169121570711-1.57079632675     		φ = -1.41362721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57123942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.321167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41362721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.994873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59587 KachelY 59277 2.57123942 -1.41362721 147.321167 -80.994873
    Oben rechts KachelX + 1 59588 KachelY 59277 2.57133530 -1.41362721 147.326660 -80.994873
    Unten links KachelX 59587 KachelY + 1 59278 2.57123942 -1.41364221 147.321167 -80.995732
    Unten rechts KachelX + 1 59588 KachelY + 1 59278 2.57133530 -1.41364221 147.326660 -80.995732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41362721--1.41364221) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dl = 95.5649999992114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41362721--1.41364221) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dr = 95.5649999992114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57123942-2.57133530) × cos(-1.41362721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156522846831252 × 6371000     		do = 95.6122126406207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57123942-2.57133530) × cos(-1.41364221) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15650803169857 × 6371000     		du = 95.6031627948956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41362721)-sin(-1.41364221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156522846831252-0.15650803169857)×R²
    abs(2.57133530-2.57123942)×1.48151326817558e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48151326817558e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48151326817558e-05×40589641000000     		ar = 9136.74867694828m²