Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59587 / 58563
↖ ↑ ↗
← S 80.359756°
E147.321167°		 ← 102.29 m → S 80.359756°
E147.326660°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 80.360675°
E147.321167°		 ← 102.28 m →
10 460 m²		 S 80.360675°
E147.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909233093261719 y=0.893608093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909233093261719 × 216)
    floor (0.909233093261719 × 65536)
    floor (59587.5)     		tx = 59587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893608093261719 × 216)
    floor (0.893608093261719 × 65536)
    floor (58563.5)     		ty = 58563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59587 / 58563 ti = "16/59587/58563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59587/58563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59587 ÷ 216
    59587 ÷ 65536     		x = 0.909225463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58563 ÷ 216
    58563 ÷ 65536     		y = 0.893600463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909225463867188 × 2 - 1) × π
    0.818450927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57123942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893600463867188 × 2 - 1) × π
    -0.787200927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4730646513987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57123942} λ = 2.57123942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4730646513987))-π/2
    2×atan(0.0843260327038812)-π/2
    2×0.0841270037515743-π/2
    0.168254007503149-1.57079632675     		φ = -1.40254232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57123942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.321167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40254232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.359756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59587 KachelY 58563 2.57123942 -1.40254232 147.321167 -80.359756
    Oben rechts KachelX + 1 59588 KachelY 58563 2.57133530 -1.40254232 147.326660 -80.359756
    Unten links KachelX 59587 KachelY + 1 58564 2.57123942 -1.40255837 147.321167 -80.360675
    Unten rechts KachelX + 1 59588 KachelY + 1 58564 2.57133530 -1.40255837 147.326660 -80.360675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40254232--1.40255837) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dl = 102.254549999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40254232--1.40255837) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dr = 102.254549999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57123942-2.57133530) × cos(-1.40254232) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167461267759762 × 6371000     		do = 102.29396325366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57123942-2.57133530) × cos(-1.40255837) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167445444385769 × 6371000     		du = 102.284297522238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40254232)-sin(-1.40255837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167461267759762-0.167445444385769)×R²
    abs(2.57133530-2.57123942)×1.58233739927516e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.58233739927516e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.58233739927516e-05×40589641000000     		ar = 10459.5289974686m²