Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59586 / 85828
↖ ↑ ↗
← S 48.582059°
W 16.342163°		 ← 202.01 m → S 48.582059°
W 16.339417°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 48.583875°
W 16.342163°		 ← 202 m →
40 810 m²		 S 48.583875°
W 16.339417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454608917236328 y=0.654819488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454608917236328 × 217)
    floor (0.454608917236328 × 131072)
    floor (59586.5)     		tx = 59586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654819488525391 × 217)
    floor (0.654819488525391 × 131072)
    floor (85828.5)     		ty = 85828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59586 / 85828 ti = "17/59586/85828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59586/85828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59586 ÷ 217
    59586 ÷ 131072     		x = 0.454605102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85828 ÷ 217
    85828 ÷ 131072     		y = 0.654815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454605102539062 × 2 - 1) × π
    -0.090789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28522455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.30963134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.972735567090179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28522455} λ = -0.28522455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972735567090179))-π/2
    2×atan(0.37804744812865)-π/2
    2×0.361439725143792-π/2
    0.722879450287585-1.57079632675     		φ = -0.84791688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28522455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.342163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84791688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.582059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59586 KachelY 85828 -0.28522455 -0.84791688 -16.342163 -48.582059
    Oben rechts KachelX + 1 59587 KachelY 85828 -0.28517662 -0.84791688 -16.339417 -48.582059
    Unten links KachelX 59586 KachelY + 1 85829 -0.28522455 -0.84794859 -16.342163 -48.583875
    Unten rechts KachelX + 1 59587 KachelY + 1 85829 -0.28517662 -0.84794859 -16.339417 -48.583875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84791688--0.84794859) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84791688--0.84794859) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28522455--0.28517662) × cos(-0.84791688) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661546720029414 × 6371000     		do = 202.011249368147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28522455--0.28517662) × cos(-0.84794859) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661522940242499 × 6371000     		du = 202.003987924142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84791688)-sin(-0.84794859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661546720029414-0.661522940242499)×R²
    abs(-0.28517662--0.28522455)×2.37797869143686e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37797869143686e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37797869143686e-05×40589641000000     		ar = 40810.469975918m²