Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59585 / 59583
↖ ↑ ↗
← S 81.254197°
E147.310180°		 ← 92.88 m → S 81.254197°
E147.315674°		 →
↑
92.89 m
↓
↑
92.89 m
↓
S 81.255032°
E147.310180°		 ← 92.87 m →
8 627 m²		 S 81.255032°
E147.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909202575683594 y=0.909172058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909202575683594 × 216)
    floor (0.909202575683594 × 65536)
    floor (59585.5)     		tx = 59585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909172058105469 × 216)
    floor (0.909172058105469 × 65536)
    floor (59583.5)     		ty = 59583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59585 / 59583 ti = "16/59585/59583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59585/59583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59585 ÷ 216
    59585 ÷ 65536     		x = 0.909194946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59583 ÷ 216
    59583 ÷ 65536     		y = 0.909164428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909194946289062 × 2 - 1) × π
    0.818389892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57104767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909164428710938 × 2 - 1) × π
    -0.818328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57085592662361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57104767} λ = 2.57104767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57085592662361))-π/2
    2×atan(0.0764700646403012)-π/2
    2×0.0763215281940541-π/2
    0.152643056388108-1.57079632675     		φ = -1.41815327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57104767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.310180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41815327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.254197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59585 KachelY 59583 2.57104767 -1.41815327 147.310180 -81.254197
    Oben rechts KachelX + 1 59586 KachelY 59583 2.57114355 -1.41815327 147.315674 -81.254197
    Unten links KachelX 59585 KachelY + 1 59584 2.57104767 -1.41816785 147.310180 -81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 59586 KachelY + 1 59584 2.57114355 -1.41816785 147.315674 -81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41815327--1.41816785) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dl = 92.8891799999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41815327--1.41816785) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dr = 92.8891799999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57104767-2.57114355) × cos(-1.41815327) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152050985578648 × 6371000     		do = 92.8805695761146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57104767-2.57114355) × cos(-1.41816785) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 92.8717669073272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41815327)-sin(-1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152050985578648-0.152036575089231)×R²
    abs(2.57114355-2.57104767)×1.44104894162778e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44104894162778e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44104894162778e-05×40589641000000     		ar = 8627.19110942262m²