Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59585 / 35138
↖ ↑ ↗
← N 63.780059°
W 16.344910°		 ← 134.94 m → N 63.780059°
W 16.342163°		 →
↑
134.94 m
↓
↑
134.94 m
↓
N 63.778846°
W 16.344910°		 ← 134.95 m →
18 209 m²		 N 63.778846°
W 16.342163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454601287841797 y=0.268085479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454601287841797 × 217)
    floor (0.454601287841797 × 131072)
    floor (59585.5)     		tx = 59585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268085479736328 × 217)
    floor (0.268085479736328 × 131072)
    floor (35138.5)     		ty = 35138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59585 / 35138 ti = "17/59585/35138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59585/35138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59585 ÷ 217
    59585 ÷ 131072     		x = 0.454597473144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35138 ÷ 217
    35138 ÷ 131072     		y = 0.268081665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454597473144531 × 2 - 1) × π
    -0.0908050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28527249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268081665039062 × 2 - 1) × π
    0.463836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45718587465047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28527249} λ = -0.28527249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45718587465047))-π/2
    2×atan(4.29385905259581)-π/2
    2×1.34198417808459-π/2
    2.68396835616919-1.57079632675     		φ = 1.11317203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28527249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.344910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11317203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.780059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59585 KachelY 35138 -0.28527249 1.11317203 -16.344910 63.780059
    Oben rechts KachelX + 1 59586 KachelY 35138 -0.28522455 1.11317203 -16.342163 63.780059
    Unten links KachelX 59585 KachelY + 1 35139 -0.28527249 1.11315085 -16.344910 63.778846
    Unten rechts KachelX + 1 59586 KachelY + 1 35139 -0.28522455 1.11315085 -16.342163 63.778846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11317203-1.11315085) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dl = 134.937780000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11317203-1.11315085) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dr = 134.937780000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28527249--0.28522455) × cos(1.11317203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441818101364284 × 6371000     		do = 134.942620554493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28527249--0.28522455) × cos(1.11315085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441837101941816 × 6371000     		du = 134.948423819946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11317203)-sin(1.11315085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441818101364284-0.441837101941816)×R²
    abs(-0.28522455--0.28527249)×1.900057753218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.900057753218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.900057753218e-05×40589641000000     		ar = 18209.2491855365m²