Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59584 / 85184
↖ ↑ ↗
← S 47.398349°
W 16.347656°		 ← 206.74 m → S 47.398349°
W 16.344910°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
S 47.400208°
W 16.347656°		 ← 206.73 m →
42 741 m²		 S 47.400208°
W 16.344910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454593658447266 y=0.649906158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454593658447266 × 217)
    floor (0.454593658447266 × 131072)
    floor (59584.5)     		tx = 59584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649906158447266 × 217)
    floor (0.649906158447266 × 131072)
    floor (85184.5)     		ty = 85184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59584 / 85184 ti = "17/59584/85184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59584/85184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59584 ÷ 217
    59584 ÷ 131072     		x = 0.45458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85184 ÷ 217
    85184 ÷ 131072     		y = 0.64990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28532043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64990234375 × 2 - 1) × π
    -0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28532043} λ = -0.28532043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941864203734863))-π/2
    2×atan(0.389900303833094)-π/2
    2×0.371769536628414-π/2
    0.743539073256829-1.57079632675     		φ = -0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28532043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59584 KachelY 85184 -0.28532043 -0.82725725 -16.347656 -47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 59585 KachelY 85184 -0.28527249 -0.82725725 -16.344910 -47.398349
    Unten links KachelX 59584 KachelY + 1 85185 -0.28532043 -0.82728970 -16.347656 -47.400208
    Unten rechts KachelX + 1 59585 KachelY + 1 85185 -0.28527249 -0.82728970 -16.344910 -47.400208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82725725--0.82728970) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82725725--0.82728970) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28532043--0.28527249) × cos(-0.82725725) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 206.741822217609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28532043--0.28527249) × cos(-0.82728970) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676873294293071 × 6371000     		du = 206.734526795803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82725725)-sin(-0.82728970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.676873294293071)×R²
    abs(-0.28527249--0.28532043)×2.38860739296687e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38860739296687e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38860739296687e-05×40589641000000     		ar = 42740.8331262077m²