Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59583 / 85891
↖ ↑ ↗
← S 48.696399°
W 16.350403°		 ← 201.55 m → S 48.696399°
W 16.347656°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
S 48.698212°
W 16.350403°		 ← 201.55 m →
40 628 m²		 S 48.698212°
W 16.347656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454586029052734 y=0.655300140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454586029052734 × 217)
    floor (0.454586029052734 × 131072)
    floor (59583.5)     		tx = 59583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655300140380859 × 217)
    floor (0.655300140380859 × 131072)
    floor (85891.5)     		ty = 85891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59583 / 85891 ti = "17/59583/85891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59583/85891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59583 ÷ 217
    59583 ÷ 131072     		x = 0.454582214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85891 ÷ 217
    85891 ÷ 131072     		y = 0.655296325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454582214355469 × 2 - 1) × π
    -0.0908355712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28536836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655296325683594 × 2 - 1) × π
    -0.310592651367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.975755591766243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28536836} λ = -0.28536836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975755591766243))-π/2
    2×atan(0.376907457772526)-π/2
    2×0.360441912407755-π/2
    0.720883824815509-1.57079632675     		φ = -0.84991250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28536836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.350403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84991250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.696399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59583 KachelY 85891 -0.28536836 -0.84991250 -16.350403 -48.696399
    Oben rechts KachelX + 1 59584 KachelY 85891 -0.28532043 -0.84991250 -16.347656 -48.696399
    Unten links KachelX 59583 KachelY + 1 85892 -0.28536836 -0.84994414 -16.350403 -48.698212
    Unten rechts KachelX + 1 59584 KachelY + 1 85892 -0.28532043 -0.84994414 -16.347656 -48.698212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84991250--0.84994414) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84991250--0.84994414) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28536836--0.28532043) × cos(-0.84991250) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66004888039385 × 6371000     		do = 201.553866016183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28536836--0.28532043) × cos(-0.84994414) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660025111378706 × 6371000     		du = 201.546607861468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84991250)-sin(-0.84994414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66004888039385-0.660025111378706)×R²
    abs(-0.28532043--0.28536836)×2.3769015144337e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3769015144337e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3769015144337e-05×40589641000000     		ar = 40628.1823472435m²