Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59582 / 58590
↖ ↑ ↗
← S 80.384561°
E147.293701°		 ← 102.03 m → S 80.384561°
E147.299195°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 80.385478°
E147.293701°		 ← 102.02 m →
10 407 m²		 S 80.385478°
E147.299195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909156799316406 y=0.894020080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909156799316406 × 216)
    floor (0.909156799316406 × 65536)
    floor (59582.5)     		tx = 59582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894020080566406 × 216)
    floor (0.894020080566406 × 65536)
    floor (58590.5)     		ty = 58590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59582 / 58590 ti = "16/59582/58590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59582/58590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59582 ÷ 216
    59582 ÷ 65536     		x = 0.909149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58590 ÷ 216
    58590 ÷ 65536     		y = 0.894012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909149169921875 × 2 - 1) × π
    0.81829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57076005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.78802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47565324397818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57076005} λ = 2.57076005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47565324397818))-π/2
    2×atan(0.0841080292441691)-π/2
    2×0.0839105355948947-π/2
    0.167821071189789-1.57079632675     		φ = -1.40297526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57076005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40297526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.384561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59582 KachelY 58590 2.57076005 -1.40297526 147.293701 -80.384561
    Oben rechts KachelX + 1 59583 KachelY 58590 2.57085593 -1.40297526 147.299195 -80.384561
    Unten links KachelX 59582 KachelY + 1 58591 2.57076005 -1.40299127 147.293701 -80.385478
    Unten rechts KachelX + 1 59583 KachelY + 1 58591 2.57085593 -1.40299127 147.299195 -80.385478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40297526--1.40299127) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40297526--1.40299127) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57076005-2.57085593) × cos(-1.40297526) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167034425773667 × 6371000     		do = 102.033226194728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57076005-2.57085593) × cos(-1.40299127) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167018640675726 × 6371000     		du = 102.023583844288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40297526)-sin(-1.40299127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167034425773667-0.167018640675726)×R²
    abs(2.57085593-2.57076005)×1.57850979410901e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57850979410901e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57850979410901e-05×40589641000000     		ar = 10406.8677241883m²