Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59581 / 58536
↖ ↑ ↗
← S 80.334887°
E147.288208°		 ← 102.54 m → S 80.334887°
E147.293701°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 80.335809°
E147.288208°		 ← 102.53 m →
10 511 m²		 S 80.335809°
E147.293701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909141540527344 y=0.893196105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909141540527344 × 216)
    floor (0.909141540527344 × 65536)
    floor (59581.5)     		tx = 59581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893196105957031 × 216)
    floor (0.893196105957031 × 65536)
    floor (58536.5)     		ty = 58536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59581 / 58536 ti = "16/59581/58536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59581/58536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59581 ÷ 216
    59581 ÷ 65536     		x = 0.909133911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58536 ÷ 216
    58536 ÷ 65536     		y = 0.8931884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909133911132812 × 2 - 1) × π
    0.818267822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57066418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.786376953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.47047605881921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57066418} λ = 2.57066418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47047605881921))-π/2
    2×atan(0.0845446012167621)-π/2
    2×0.0843440250487446-π/2
    0.168688050097489-1.57079632675     		φ = -1.40210828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57066418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.288208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40210828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.334887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59581 KachelY 58536 2.57066418 -1.40210828 147.288208 -80.334887
    Oben rechts KachelX + 1 59582 KachelY 58536 2.57076005 -1.40210828 147.293701 -80.334887
    Unten links KachelX 59581 KachelY + 1 58537 2.57066418 -1.40212437 147.288208 -80.335809
    Unten rechts KachelX + 1 59582 KachelY + 1 58537 2.57076005 -1.40212437 147.293701 -80.335809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40210828--1.40212437) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dl = 102.509389999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40210828--1.40212437) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dr = 102.509389999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57066418-2.57076005) × cos(-1.40210828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16788916274398 × 6371000     		do = 102.54464731956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57066418-2.57076005) × cos(-1.40212437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167873301105672 × 6371000     		du = 102.53495922487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40210828)-sin(-1.40212437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16788916274398-0.167873301105672)×R²
    abs(2.57076005-2.57066418)×1.58616383079679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58616383079679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58616383079679e-05×40589641000000     		ar = 10511.2926842024m²