Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59580 / 85894
↖ ↑ ↗
← S 48.701838°
W 16.358642°		 ← 201.53 m → S 48.701838°
W 16.355896°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
S 48.703651°
W 16.358642°		 ← 201.52 m →
40 624 m²		 S 48.703651°
W 16.355896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454563140869141 y=0.655323028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454563140869141 × 217)
    floor (0.454563140869141 × 131072)
    floor (59580.5)     		tx = 59580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655323028564453 × 217)
    floor (0.655323028564453 × 131072)
    floor (85894.5)     		ty = 85894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59580 / 85894 ti = "17/59580/85894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59580/85894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59580 ÷ 217
    59580 ÷ 131072     		x = 0.454559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85894 ÷ 217
    85894 ÷ 131072     		y = 0.655319213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.09088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28551217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655319213867188 × 2 - 1) × π
    -0.310638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.975899402465103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28551217} λ = -0.28551217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975899402465103))-π/2
    2×atan(0.37685325834494)-π/2
    2×0.360394453926155-π/2
    0.72078890785231-1.57079632675     		φ = -0.85000742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28551217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.358642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85000742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.701838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59580 KachelY 85894 -0.28551217 -0.85000742 -16.358642 -48.701838
    Oben rechts KachelX + 1 59581 KachelY 85894 -0.28546424 -0.85000742 -16.355896 -48.701838
    Unten links KachelX 59580 KachelY + 1 85895 -0.28551217 -0.85003906 -16.358642 -48.703651
    Unten rechts KachelX + 1 59581 KachelY + 1 85895 -0.28546424 -0.85003906 -16.355896 -48.703651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85000742--0.85003906) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85000742--0.85003906) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28551217--0.28546424) × cos(-0.85000742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659977571366208 × 6371000     		do = 201.532090946979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28551217--0.28546424) × cos(-0.85003906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659953800368902 × 6371000     		du = 201.524832186986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85000742)-sin(-0.85003906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659977571366208-0.659953800368902)×R²
    abs(-0.28546424--0.28551217)×2.3770997305772e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3770997305772e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3770997305772e-05×40589641000000     		ar = 40623.7929015934m²