Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59580 / 58574
↖ ↑ ↗
← S 80.369869°
E147.282715°		 ← 102.18 m → S 80.369869°
E147.288208°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 80.370788°
E147.282715°		 ← 102.17 m →
10 441 m²		 S 80.370788°
E147.288208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909126281738281 y=0.893775939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909126281738281 × 216)
    floor (0.909126281738281 × 65536)
    floor (59580.5)     		tx = 59580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893775939941406 × 216)
    floor (0.893775939941406 × 65536)
    floor (58574.5)     		ty = 58574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59580 / 58574 ti = "16/59580/58574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59580/58574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59580 ÷ 216
    59580 ÷ 65536     		x = 0.90911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58574 ÷ 216
    58574 ÷ 65536     		y = 0.893768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90911865234375 × 2 - 1) × π
    0.8182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57056831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.78753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47411926319034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57056831} λ = 2.57056831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47411926319034))-π/2
    2×atan(0.0842371483529298)-π/2
    2×0.0840387463272759-π/2
    0.168077492654552-1.57079632675     		φ = -1.40271883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57056831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40271883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.369869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59580 KachelY 58574 2.57056831 -1.40271883 147.282715 -80.369869
    Oben rechts KachelX + 1 59581 KachelY 58574 2.57066418 -1.40271883 147.288208 -80.369869
    Unten links KachelX 59580 KachelY + 1 58575 2.57056831 -1.40273487 147.282715 -80.370788
    Unten rechts KachelX + 1 59581 KachelY + 1 58575 2.57066418 -1.40273487 147.288208 -80.370788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40271883--1.40273487) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40271883--1.40273487) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57056831-2.57066418) × cos(-1.40271883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167287247710452 × 6371000     		do = 102.177004978502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57056831-2.57066418) × cos(-1.40273487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167271433721421 × 6371000     		du = 102.167345987407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40271883)-sin(-1.40273487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167287247710452-0.167271433721421)×R²
    abs(2.57066418-2.57056831)×1.58139890304165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58139890304165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58139890304165e-05×40589641000000     		ar = 10441.0604374018m²