Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59578 / 85274
↖ ↑ ↗
← S 47.565407°
W 16.364136°		 ← 206.09 m → S 47.565407°
W 16.361389°		 →
↑
206.04 m
↓
↑
206.04 m
↓
S 47.567260°
W 16.364136°		 ← 206.08 m →
42 461 m²		 S 47.567260°
W 16.361389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454547882080078 y=0.650592803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454547882080078 × 217)
    floor (0.454547882080078 × 131072)
    floor (59578.5)     		tx = 59578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650592803955078 × 217)
    floor (0.650592803955078 × 131072)
    floor (85274.5)     		ty = 85274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59578 / 85274 ti = "17/59578/85274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59578/85274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59578 ÷ 217
    59578 ÷ 131072     		x = 0.454544067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85274 ÷ 217
    85274 ÷ 131072     		y = 0.650588989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454544067382812 × 2 - 1) × π
    -0.090911865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28560805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650588989257812 × 2 - 1) × π
    -0.301177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946178524700668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28560805} λ = -0.28560805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946178524700668))-π/2
    2×atan(0.388221772243301)-π/2
    2×0.370311678922423-π/2
    0.740623357844847-1.57079632675     		φ = -0.83017297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28560805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.364136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83017297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.565407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59578 KachelY 85274 -0.28560805 -0.83017297 -16.364136 -47.565407
    Oben rechts KachelX + 1 59579 KachelY 85274 -0.28556011 -0.83017297 -16.361389 -47.565407
    Unten links KachelX 59578 KachelY + 1 85275 -0.28560805 -0.83020531 -16.364136 -47.567260
    Unten rechts KachelX + 1 59579 KachelY + 1 85275 -0.28556011 -0.83020531 -16.361389 -47.567260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83017297--0.83020531) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dl = 206.038139999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83017297--0.83020531) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dr = 206.038139999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28560805--0.28556011) × cos(-0.83017297) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674748109986967 × 6371000     		do = 206.085440806474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28560805--0.28556011) × cos(-0.83020531) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674724241158781 × 6371000     		du = 206.078150651963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83017297)-sin(-0.83020531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674748109986967-0.674724241158781)×R²
    abs(-0.28556011--0.28560805)×2.38688281853916e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38688281853916e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38688281853916e-05×40589641000000     		ar = 42460.7098835855m²