Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59578 / 58555
↖ ↑ ↗
← S 80.352394°
E147.271729°		 ← 102.36 m → S 80.352394°
E147.277222°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
S 80.353314°
E147.271729°		 ← 102.35 m →
10 479 m²		 S 80.353314°
E147.277222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909095764160156 y=0.893486022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909095764160156 × 216)
    floor (0.909095764160156 × 65536)
    floor (59578.5)     		tx = 59578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893486022949219 × 216)
    floor (0.893486022949219 × 65536)
    floor (58555.5)     		ty = 58555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59578 / 58555 ti = "16/59578/58555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59578/58555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59578 ÷ 216
    59578 ÷ 65536     		x = 0.909088134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58555 ÷ 216
    58555 ÷ 65536     		y = 0.893478393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909088134765625 × 2 - 1) × π
    0.81817626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57037656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893478393554688 × 2 - 1) × π
    -0.786956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47229766100478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57037656} λ = 2.57037656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47229766100478))-π/2
    2×atan(0.0843907347706825)-π/2
    2×0.0841912486301534-π/2
    0.168382497260307-1.57079632675     		φ = -1.40241383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57037656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.271729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40241383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.352394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59578 KachelY 58555 2.57037656 -1.40241383 147.271729 -80.352394
    Oben rechts KachelX + 1 59579 KachelY 58555 2.57047243 -1.40241383 147.277222 -80.352394
    Unten links KachelX 59578 KachelY + 1 58556 2.57037656 -1.40242990 147.271729 -80.353314
    Unten rechts KachelX + 1 59579 KachelY + 1 58556 2.57047243 -1.40242990 147.277222 -80.353314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40241383--1.40242990) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40241383--1.40242990) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57037656-2.57047243) × cos(-1.40241383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167587941925521 × 6371000     		do = 102.360665327576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57037656-2.57047243) × cos(-1.40242990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167572099179795 × 6371000     		du = 102.350988772244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40241383)-sin(-1.40242990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167587941925521-0.167572099179795)×R²
    abs(2.57047243-2.57037656)×1.58427457255528e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58427457255528e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58427457255528e-05×40589641000000     		ar = 10479.3912146781m²