Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59577 / 85275
↖ ↑ ↗
← S 47.567260°
W 16.366882°		 ← 206.04 m → S 47.567260°
W 16.364136°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
S 47.569114°
W 16.366882°		 ← 206.03 m →
42 463 m²		 S 47.569114°
W 16.364136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454540252685547 y=0.650600433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454540252685547 × 217)
    floor (0.454540252685547 × 131072)
    floor (59577.5)     		tx = 59577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650600433349609 × 217)
    floor (0.650600433349609 × 131072)
    floor (85275.5)     		ty = 85275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59577 / 85275 ti = "17/59577/85275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59577/85275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59577 ÷ 217
    59577 ÷ 131072     		x = 0.454536437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85275 ÷ 217
    85275 ÷ 131072     		y = 0.650596618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454536437988281 × 2 - 1) × π
    -0.0909271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28565598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650596618652344 × 2 - 1) × π
    -0.301193237304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.946226461600288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28565598} λ = -0.28565598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946226461600288))-π/2
    2×atan(0.388203162541224)-π/2
    2×0.370295506542288-π/2
    0.740591013084576-1.57079632675     		φ = -0.83020531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28565598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.366882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83020531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.567260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59577 KachelY 85275 -0.28565598 -0.83020531 -16.366882 -47.567260
    Oben rechts KachelX + 1 59578 KachelY 85275 -0.28560805 -0.83020531 -16.364136 -47.567260
    Unten links KachelX 59577 KachelY + 1 85276 -0.28565598 -0.83023766 -16.366882 -47.569114
    Unten rechts KachelX + 1 59578 KachelY + 1 85276 -0.28560805 -0.83023766 -16.364136 -47.569114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83020531--0.83023766) × R
    3.23500000000143e-05 × 6371000     		dl = 206.101850000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83020531--0.83023766) × R
    3.23500000000143e-05 × 6371000     		dr = 206.101850000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28565598--0.28560805) × cos(-0.83020531) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674724241158781 × 6371000     		do = 206.035163970342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28565598--0.28560805) × cos(-0.83023766) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674700364244001 × 6371000     		du = 206.027872867175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83020531)-sin(-0.83023766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674724241158781-0.674700364244001)×R²
    abs(-0.28560805--0.28565598)×2.38769147804518e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38769147804518e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38769147804518e-05×40589641000000     		ar = 42463.4771082319m²