Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59577 / 30937
↖ ↑ ↗
← N 68.438580°
W 16.366882°		 ← 112.22 m → N 68.438580°
W 16.364136°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
N 68.437570°
W 16.366882°		 ← 112.23 m →
12 598 m²		 N 68.437570°
W 16.364136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454540252685547 y=0.236034393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454540252685547 × 217)
    floor (0.454540252685547 × 131072)
    floor (59577.5)     		tx = 59577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236034393310547 × 217)
    floor (0.236034393310547 × 131072)
    floor (30937.5)     		ty = 30937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59577 / 30937 ti = "17/59577/30937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59577/30937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59577 ÷ 217
    59577 ÷ 131072     		x = 0.454536437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30937 ÷ 217
    30937 ÷ 131072     		y = 0.236030578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454536437988281 × 2 - 1) × π
    -0.0909271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28565598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236030578613281 × 2 - 1) × π
    0.527938842773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.65856878995432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28565598} λ = -0.28565598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65856878995432))-π/2
    2×atan(5.25178904985093)-π/2
    2×1.38263743721808-π/2
    2.76527487443616-1.57079632675     		φ = 1.19447855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28565598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.366882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19447855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.438580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59577 KachelY 30937 -0.28565598 1.19447855 -16.366882 68.438580
    Oben rechts KachelX + 1 59578 KachelY 30937 -0.28560805 1.19447855 -16.364136 68.438580
    Unten links KachelX 59577 KachelY + 1 30938 -0.28565598 1.19446093 -16.366882 68.437570
    Unten rechts KachelX + 1 59578 KachelY + 1 30938 -0.28560805 1.19446093 -16.364136 68.437570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19447855-1.19446093) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19447855-1.19446093) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28565598--0.28560805) × cos(1.19447855) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.367498412060176 × 6371000     		do = 112.220061128411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28565598--0.28560805) × cos(1.19446093) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.367514799028627 × 6371000     		du = 112.225065086362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19447855)-sin(1.19446093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367498412060176-0.367514799028627)×R²
    abs(-0.28560805--0.28565598)×1.63869684512985e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.63869684512985e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.63869684512985e-05×40589641000000     		ar = 12597.7705113403m²