Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59576 / 85944
↖ ↑ ↗
← S 48.792390°
W 16.369629°		 ← 201.21 m → S 48.792390°
W 16.366882°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
S 48.794200°
W 16.369629°		 ← 201.20 m →
40 482 m²		 S 48.794200°
W 16.366882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454532623291016 y=0.655704498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454532623291016 × 217)
    floor (0.454532623291016 × 131072)
    floor (59576.5)     		tx = 59576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655704498291016 × 217)
    floor (0.655704498291016 × 131072)
    floor (85944.5)     		ty = 85944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59576 / 85944 ti = "17/59576/85944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59576/85944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59576 ÷ 217
    59576 ÷ 131072     		x = 0.45452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85944 ÷ 217
    85944 ÷ 131072     		y = 0.65570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28570392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.3114013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.978296247446106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28570392} λ = -0.28570392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978296247446106))-π/2
    2×atan(0.375951081125479)-π/2
    2×0.359604233983608-π/2
    0.719208467967217-1.57079632675     		φ = -0.85158786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28570392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.369629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85158786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.792390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59576 KachelY 85944 -0.28570392 -0.85158786 -16.369629 -48.792390
    Oben rechts KachelX + 1 59577 KachelY 85944 -0.28565598 -0.85158786 -16.366882 -48.792390
    Unten links KachelX 59576 KachelY + 1 85945 -0.28570392 -0.85161944 -16.369629 -48.794200
    Unten rechts KachelX + 1 59577 KachelY + 1 85945 -0.28565598 -0.85161944 -16.366882 -48.794200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85158786--0.85161944) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dl = 201.196180000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85158786--0.85161944) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dr = 201.196180000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28570392--0.28565598) × cos(-0.85158786) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658789386274791 × 6371000     		do = 201.211235807225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28570392--0.28565598) × cos(-0.85161944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658765627446416 × 6371000     		du = 201.203979249487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85158786)-sin(-0.85161944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658789386274791-0.658765627446416)×R²
    abs(-0.28565598--0.28570392)×2.3758828374465e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3758828374465e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3758828374465e-05×40589641000000     		ar = 40482.2020251425m²