Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59576 / 85273
↖ ↑ ↗
← S 47.563554°
W 16.369629°		 ← 206.09 m → S 47.563554°
W 16.366882°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
S 47.565407°
W 16.369629°		 ← 206.09 m →
42 475 m²		 S 47.565407°
W 16.366882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454532623291016 y=0.650585174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454532623291016 × 217)
    floor (0.454532623291016 × 131072)
    floor (59576.5)     		tx = 59576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650585174560547 × 217)
    floor (0.650585174560547 × 131072)
    floor (85273.5)     		ty = 85273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59576 / 85273 ti = "17/59576/85273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59576/85273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59576 ÷ 217
    59576 ÷ 131072     		x = 0.45452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85273 ÷ 217
    85273 ÷ 131072     		y = 0.650581359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28570392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650581359863281 × 2 - 1) × π
    -0.301162719726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.946130587801048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28570392} λ = -0.28570392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946130587801048))-π/2
    2×atan(0.388240382837491)-π/2
    2×0.370327851874744-π/2
    0.740655703749487-1.57079632675     		φ = -0.83014062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28570392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.369629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83014062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.563554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59576 KachelY 85273 -0.28570392 -0.83014062 -16.369629 -47.563554
    Oben rechts KachelX + 1 59577 KachelY 85273 -0.28565598 -0.83014062 -16.366882 -47.563554
    Unten links KachelX 59576 KachelY + 1 85274 -0.28570392 -0.83017297 -16.369629 -47.565407
    Unten rechts KachelX + 1 59577 KachelY + 1 85274 -0.28565598 -0.83017297 -16.366882 -47.565407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83014062--0.83017297) × R
    3.23500000000143e-05 × 6371000     		dl = 206.101850000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83014062--0.83017297) × R
    3.23500000000143e-05 × 6371000     		dr = 206.101850000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28570392--0.28565598) × cos(-0.83014062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674771985489712 × 6371000     		do = 206.092732999568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28570392--0.28565598) × cos(-0.83017297) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674748109986967 × 6371000     		du = 206.085440806474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83014062)-sin(-0.83017297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674771985489712-0.674748109986967)×R²
    abs(-0.28565598--0.28570392)×2.38755027456294e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38755027456294e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38755027456294e-05×40589641000000     		ar = 42475.3420790967m²