Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59576 / 82412
↖ ↑ ↗
← S 41.992160°
W 16.369629°		 ← 227 m → S 41.992160°
W 16.366882°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 41.994201°
W 16.369629°		 ← 227 m →
51 514 m²		 S 41.994201°
W 16.366882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454532623291016 y=0.628757476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454532623291016 × 217)
    floor (0.454532623291016 × 131072)
    floor (59576.5)     		tx = 59576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628757476806641 × 217)
    floor (0.628757476806641 × 131072)
    floor (82412.5)     		ty = 82412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59576 / 82412 ti = "17/59576/82412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59576/82412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59576 ÷ 217
    59576 ÷ 131072     		x = 0.45452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82412 ÷ 217
    82412 ÷ 131072     		y = 0.628753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28570392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.25750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808983117988068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28570392} λ = -0.28570392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808983117988068))-π/2
    2×atan(0.445310664468853)-π/2
    2×0.418947435357318-π/2
    0.837894870714635-1.57079632675     		φ = -0.73290146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28570392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.369629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73290146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.992160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59576 KachelY 82412 -0.28570392 -0.73290146 -16.369629 -41.992160
    Oben rechts KachelX + 1 59577 KachelY 82412 -0.28565598 -0.73290146 -16.366882 -41.992160
    Unten links KachelX 59576 KachelY + 1 82413 -0.28570392 -0.73293708 -16.369629 -41.994201
    Unten rechts KachelX + 1 59577 KachelY + 1 82413 -0.28565598 -0.73293708 -16.366882 -41.994201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73290146--0.73293708) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73290146--0.73293708) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28570392--0.28565598) × cos(-0.73290146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.743236372876477 × 6371000     		do = 227.003519180828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28570392--0.28565598) × cos(-0.73293708) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.743212541594896 × 6371000     		du = 226.996240494016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73290146)-sin(-0.73293708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743236372876477-0.743212541594896)×R²
    abs(-0.28565598--0.28570392)×2.38312815817876e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38312815817876e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38312815817876e-05×40589641000000     		ar = 51514.222276285m²