Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59575 / 30935
↖ ↑ ↗
← N 68.440598°
W 16.372376°		 ← 112.23 m → N 68.440598°
W 16.369629°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
N 68.439589°
W 16.372376°		 ← 112.24 m →
12 599 m²		 N 68.439589°
W 16.369629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454524993896484 y=0.236019134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454524993896484 × 217)
    floor (0.454524993896484 × 131072)
    floor (59575.5)     		tx = 59575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236019134521484 × 217)
    floor (0.236019134521484 × 131072)
    floor (30935.5)     		ty = 30935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59575 / 30935 ti = "17/59575/30935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59575/30935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59575 ÷ 217
    59575 ÷ 131072     		x = 0.454521179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30935 ÷ 217
    30935 ÷ 131072     		y = 0.236015319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454521179199219 × 2 - 1) × π
    -0.0909576416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28575186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236015319824219 × 2 - 1) × π
    0.527969360351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.65866466375356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28575186} λ = -0.28575186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65866466375356))-π/2
    2×atan(5.25229258295737)-π/2
    2×1.38265505316729-π/2
    2.76531010633459-1.57079632675     		φ = 1.19451378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28575186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.372376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19451378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.440598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59575 KachelY 30935 -0.28575186 1.19451378 -16.372376 68.440598
    Oben rechts KachelX + 1 59576 KachelY 30935 -0.28570392 1.19451378 -16.369629 68.440598
    Unten links KachelX 59575 KachelY + 1 30936 -0.28575186 1.19449616 -16.372376 68.439589
    Unten rechts KachelX + 1 59576 KachelY + 1 30936 -0.28570392 1.19449616 -16.369629 68.439589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19451378-1.19449616) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dl = 112.257020001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19451378-1.19449616) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dr = 112.257020001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28575186--0.28570392) × cos(1.19451378) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.367465647081364 × 6371000     		do = 112.233467184461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28575186--0.28570392) × cos(1.19449616) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.367482034277936 × 6371000     		du = 112.2384722561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19451378)-sin(1.19449616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367465647081364-0.367482034277936)×R²
    abs(-0.28570392--0.28575186)×1.6387196572043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6387196572043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6387196572043e-05×40589641000000     		ar = 12599.275498077m²