Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59570 / 85872
↖ ↑ ↗
← S 48.661943°
W 16.386108°		 ← 201.69 m → S 48.661943°
W 16.383362°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 48.663757°
W 16.386108°		 ← 201.68 m →
40 682 m²		 S 48.663757°
W 16.383362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454486846923828 y=0.655155181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454486846923828 × 217)
    floor (0.454486846923828 × 131072)
    floor (59570.5)     		tx = 59570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655155181884766 × 217)
    floor (0.655155181884766 × 131072)
    floor (85872.5)     		ty = 85872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59570 / 85872 ti = "17/59570/85872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59570/85872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59570 ÷ 217
    59570 ÷ 131072     		x = 0.454483032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85872 ÷ 217
    85872 ÷ 131072     		y = 0.6551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454483032226562 × 2 - 1) × π
    -0.091033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28599154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.974844790673462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28599154} λ = -0.28599154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974844790673462))-π/2
    2×atan(0.377250901877833)-π/2
    2×0.360742601866039-π/2
    0.721485203732077-1.57079632675     		φ = -0.84931112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28599154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.386108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84931112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.661943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59570 KachelY 85872 -0.28599154 -0.84931112 -16.386108 -48.661943
    Oben rechts KachelX + 1 59571 KachelY 85872 -0.28594361 -0.84931112 -16.383362 -48.661943
    Unten links KachelX 59570 KachelY + 1 85873 -0.28599154 -0.84934278 -16.386108 -48.663757
    Unten rechts KachelX + 1 59571 KachelY + 1 85873 -0.28594361 -0.84934278 -16.383362 -48.663757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84931112--0.84934278) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84931112--0.84934278) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28599154--0.28594361) × cos(-0.84931112) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660500531290181 × 6371000     		do = 201.691783050738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28599154--0.28594361) × cos(-0.84934278) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660476759821366 × 6371000     		du = 201.684524146765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84931112)-sin(-0.84934278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660500531290181-0.660476759821366)×R²
    abs(-0.28594361--0.28599154)×2.37714688149371e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37714688149371e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37714688149371e-05×40589641000000     		ar = 40681.6824768544m²