Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59569 / 82415
↖ ↑ ↗
← S 41.998284°
W 16.388855°		 ← 226.98 m → S 41.998284°
W 16.386108°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 42.000325°
W 16.388855°		 ← 226.97 m →
51 509 m²		 S 42.000325°
W 16.386108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454479217529297 y=0.628780364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454479217529297 × 217)
    floor (0.454479217529297 × 131072)
    floor (59569.5)     		tx = 59569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628780364990234 × 217)
    floor (0.628780364990234 × 131072)
    floor (82415.5)     		ty = 82415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59569 / 82415 ti = "17/59569/82415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59569/82415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59569 ÷ 217
    59569 ÷ 131072     		x = 0.454475402832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82415 ÷ 217
    82415 ÷ 131072     		y = 0.628776550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454475402832031 × 2 - 1) × π
    -0.0910491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28603948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628776550292969 × 2 - 1) × π
    -0.257553100585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.809126928686928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28603948} λ = -0.28603948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809126928686928))-π/2
    2×atan(0.445246628635615)-π/2
    2×0.418893995257001-π/2
    0.837787990514002-1.57079632675     		φ = -0.73300834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28603948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.388855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73300834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.998284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59569 KachelY 82415 -0.28603948 -0.73300834 -16.388855 -41.998284
    Oben rechts KachelX + 1 59570 KachelY 82415 -0.28599154 -0.73300834 -16.386108 -41.998284
    Unten links KachelX 59569 KachelY + 1 82416 -0.28603948 -0.73304396 -16.388855 -42.000325
    Unten rechts KachelX + 1 59570 KachelY + 1 82416 -0.28599154 -0.73304396 -16.386108 -42.000325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73300834--0.73304396) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73300834--0.73304396) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28603948--0.28599154) × cos(-0.73300834) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.743164862820666 × 6371000     		do = 226.981678169114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28603948--0.28599154) × cos(-0.73304396) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.743141028709716 × 6371000     		du = 226.97439861814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73300834)-sin(-0.73304396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743164862820666-0.743141028709716)×R²
    abs(-0.28599154--0.28603948)×2.38341109498608e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38341109498608e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38341109498608e-05×40589641000000     		ar = 51509.2656878938m²