Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59565 / 82409
↖ ↑ ↗
← S 41.986036°
W 16.399841°		 ← 227.03 m → S 41.986036°
W 16.397095°		 →
↑
227 m
↓
↑
227 m
↓
S 41.988078°
W 16.399841°		 ← 227.02 m →
51 534 m²		 S 41.988078°
W 16.397095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454448699951172 y=0.628734588623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454448699951172 × 217)
    floor (0.454448699951172 × 131072)
    floor (59565.5)     		tx = 59565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628734588623047 × 217)
    floor (0.628734588623047 × 131072)
    floor (82409.5)     		ty = 82409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59565 / 82409 ti = "17/59565/82409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59565/82409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59565 ÷ 217
    59565 ÷ 131072     		x = 0.454444885253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82409 ÷ 217
    82409 ÷ 131072     		y = 0.628730773925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454444885253906 × 2 - 1) × π
    -0.0911102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28623123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628730773925781 × 2 - 1) × π
    -0.257461547851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.808839307289207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28623123} λ = -0.28623123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808839307289207))-π/2
    2×atan(0.445374709511791)-π/2
    2×0.419000880599541-π/2
    0.838001761199083-1.57079632675     		φ = -0.73279457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28623123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.399841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73279457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.986036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59565 KachelY 82409 -0.28623123 -0.73279457 -16.399841 -41.986036
    Oben rechts KachelX + 1 59566 KachelY 82409 -0.28618329 -0.73279457 -16.397095 -41.986036
    Unten links KachelX 59565 KachelY + 1 82410 -0.28623123 -0.73283020 -16.399841 -41.988078
    Unten rechts KachelX + 1 59566 KachelY + 1 82410 -0.28618329 -0.73283020 -16.397095 -41.988078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73279457--0.73283020) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dl = 226.998729999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73279457--0.73283020) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dr = 226.998729999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28623123--0.28618329) × cos(-0.73279457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.743307881131546 × 6371000     		do = 227.025359642548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28623123--0.28618329) × cos(-0.73283020) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.74328404599011 × 6371000     		du = 227.018079776837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73279457)-sin(-0.73283020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743307881131546-0.74328404599011)×R²
    abs(-0.28618329--0.28623123)×2.38351414361127e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38351414361127e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38351414361127e-05×40589641000000     		ar = 51533.6420618759m²