Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59562 / 85289
↖ ↑ ↗
← S 47.593199°
W 16.408081°		 ← 205.98 m → S 47.593199°
W 16.405334°		 →
↑
205.97 m
↓
↑
205.97 m
↓
S 47.595051°
W 16.408081°		 ← 205.97 m →
42 425 m²		 S 47.595051°
W 16.405334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454425811767578 y=0.650707244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454425811767578 × 217)
    floor (0.454425811767578 × 131072)
    floor (59562.5)     		tx = 59562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650707244873047 × 217)
    floor (0.650707244873047 × 131072)
    floor (85289.5)     		ty = 85289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59562 / 85289 ti = "17/59562/85289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59562/85289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59562 ÷ 217
    59562 ÷ 131072     		x = 0.454421997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85289 ÷ 217
    85289 ÷ 131072     		y = 0.650703430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454421997070312 × 2 - 1) × π
    -0.091156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28637504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650703430175781 × 2 - 1) × π
    -0.301406860351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.946897578194969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28637504} λ = -0.28637504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946897578194969))-π/2
    2×atan(0.387942720360045)-π/2
    2×0.370069153297918-π/2
    0.740138306595836-1.57079632675     		φ = -0.83065802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28637504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.408081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83065802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.593199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59562 KachelY 85289 -0.28637504 -0.83065802 -16.408081 -47.593199
    Oben rechts KachelX + 1 59563 KachelY 85289 -0.28632710 -0.83065802 -16.405334 -47.593199
    Unten links KachelX 59562 KachelY + 1 85290 -0.28637504 -0.83069035 -16.408081 -47.595051
    Unten rechts KachelX + 1 59563 KachelY + 1 85290 -0.28632710 -0.83069035 -16.405334 -47.595051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83065802--0.83069035) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dl = 205.974430000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83065802--0.83069035) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dr = 205.974430000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28637504--0.28632710) × cos(-0.83065802) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67439004039816 × 6371000     		do = 205.976077137341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28637504--0.28632710) × cos(-0.83069035) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674366168372494 × 6371000     		du = 205.968786006237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83065802)-sin(-0.83069035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67439004039816-0.674366168372494)×R²
    abs(-0.28632710--0.28637504)×2.38720256666713e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38720256666713e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38720256666713e-05×40589641000000     		ar = 42425.0541923841m²