Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5956 / 6869
↖ ↑ ↗
← N 27.897349°
W 49.130859°		 ← 2 159.28 m → N 27.897349°
W 49.108887°		 →
↑
2 159.51 m
↓
↑
2 159.51 m
↓
N 27.877928°
W 49.130859°		 ← 2 159.67 m →
4 663 419 m²		 N 27.877928°
W 49.108887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363555908203125 y=0.419281005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363555908203125 × 214)
    floor (0.363555908203125 × 16384)
    floor (5956.5)     		tx = 5956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419281005859375 × 214)
    floor (0.419281005859375 × 16384)
    floor (6869.5)     		ty = 6869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5956 / 6869 ti = "14/5956/6869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5956/6869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5956 ÷ 214
    5956 ÷ 16384     		x = 0.363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6869 ÷ 214
    6869 ÷ 16384     		y = 0.41925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85749526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    0.1614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507364145578674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85749526} λ = -0.85749526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507364145578674))-π/2
    2×atan(1.66090750970301)-π/2
    2×1.02884846170939-π/2
    2.05769692341877-1.57079632675     		φ = 0.48690060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85749526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48690060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.897349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5956 KachelY 6869 -0.85749526 0.48690060 -49.130859 27.897349
    Oben rechts KachelX + 1 5957 KachelY 6869 -0.85711177 0.48690060 -49.108887 27.897349
    Unten links KachelX 5956 KachelY + 1 6870 -0.85749526 0.48656164 -49.130859 27.877928
    Unten rechts KachelX + 1 5957 KachelY + 1 6870 -0.85711177 0.48656164 -49.108887 27.877928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48690060-0.48656164) × R
    0.000338959999999999 × 6371000     		dl = 2159.51416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48690060-0.48656164) × R
    0.000338959999999999 × 6371000     		dr = 2159.51416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85749526--0.85711177) × cos(0.48690060) × R
    0.000383489999999931 × 0.883787276187528 × 6371000     		do = 2159.28214439479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85749526--0.85711177) × cos(0.48656164) × R
    0.000383489999999931 × 0.883945821045196 × 6371000     		du = 2159.66950353593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48690060)-sin(0.48656164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883787276187528-0.883945821045196)×R²
    abs(-0.85711177--0.85749526)×0.000158544857667864×R²
    0.000383489999999931×0.000158544857667864×6371000²
    0.000383489999999931×0.000158544857667864×40589641000000     		ar = 4663418.66468063m²