Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59557 / 82142
↖ ↑ ↗
← S 41.438609°
W 16.421814°		 ← 228.92 m → S 41.438609°
W 16.419068°		 →
↑
228.91 m
↓
↑
228.91 m
↓
S 41.440667°
W 16.421814°		 ← 228.91 m →
52 401 m²		 S 41.440667°
W 16.419068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454387664794922 y=0.626697540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454387664794922 × 217)
    floor (0.454387664794922 × 131072)
    floor (59557.5)     		tx = 59557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626697540283203 × 217)
    floor (0.626697540283203 × 131072)
    floor (82142.5)     		ty = 82142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59557 / 82142 ti = "17/59557/82142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59557/82142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59557 ÷ 217
    59557 ÷ 131072     		x = 0.454383850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82142 ÷ 217
    82142 ÷ 131072     		y = 0.626693725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454383850097656 × 2 - 1) × π
    -0.0912322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28661472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626693725585938 × 2 - 1) × π
    -0.253387451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.796040155090653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28661472} λ = -0.28661472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796040155090653))-π/2
    2×atan(0.451111764605542)-π/2
    2×0.423778085748289-π/2
    0.847556171496577-1.57079632675     		φ = -0.72324016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28661472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.421814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72324016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.438609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59557 KachelY 82142 -0.28661472 -0.72324016 -16.421814 -41.438609
    Oben rechts KachelX + 1 59558 KachelY 82142 -0.28656679 -0.72324016 -16.419068 -41.438609
    Unten links KachelX 59557 KachelY + 1 82143 -0.28661472 -0.72327609 -16.421814 -41.440667
    Unten rechts KachelX + 1 59558 KachelY + 1 82143 -0.28656679 -0.72327609 -16.419068 -41.440667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72324016--0.72327609) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dl = 228.91003000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72324016--0.72327609) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dr = 228.91003000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28661472--0.28656679) × cos(-0.72324016) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.749665274576364 × 6371000     		do = 228.919310065021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28661472--0.28656679) × cos(-0.72327609) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.749641495001295 × 6371000     		du = 228.912048685705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72324016)-sin(-0.72327609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749665274576364-0.749641495001295)×R²
    abs(-0.28656679--0.28661472)×2.37795750690495e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37795750690495e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37795750690495e-05×40589641000000     		ar = 52401.0950389849m²