Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59557 / 59297
↖ ↑ ↗
← S 81.012053°
E147.156372°		 ← 95.42 m → S 81.012053°
E147.161865°		 →
↑
95.44 m
↓
↑
95.44 m
↓
S 81.012911°
E147.156372°		 ← 95.41 m →
9 106 m²		 S 81.012911°
E147.161865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908775329589844 y=0.904808044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908775329589844 × 216)
    floor (0.908775329589844 × 65536)
    floor (59557.5)     		tx = 59557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904808044433594 × 216)
    floor (0.904808044433594 × 65536)
    floor (59297.5)     		ty = 59297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59557 / 59297 ti = "16/59557/59297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59557/59297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59557 ÷ 216
    59557 ÷ 65536     		x = 0.908767700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59297 ÷ 216
    59297 ÷ 65536     		y = 0.904800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908767700195312 × 2 - 1) × π
    0.817535400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56836321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904800415039062 × 2 - 1) × π
    -0.809600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54343602004094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56836321} λ = 2.56836321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54343602004094))-π/2
    2×atan(0.0785958782852478)-π/2
    2×0.0784346383926055-π/2
    0.156869276785211-1.57079632675     		φ = -1.41392705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56836321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.156372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41392705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.012053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59557 KachelY 59297 2.56836321 -1.41392705 147.156372 -81.012053
    Oben rechts KachelX + 1 59558 KachelY 59297 2.56845908 -1.41392705 147.161865 -81.012053
    Unten links KachelX 59557 KachelY + 1 59298 2.56836321 -1.41394203 147.156372 -81.012911
    Unten rechts KachelX + 1 59558 KachelY + 1 59298 2.56845908 -1.41394203 147.161865 -81.012911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41392705--1.41394203) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dl = 95.4375799999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41392705--1.41394203) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dr = 95.4375799999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56836321-2.56845908) × cos(-1.41392705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156226695526094 × 6371000     		do = 95.4213549748497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56836321-2.56845908) × cos(-1.41394203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156211899444605 × 6371000     		du = 95.4123177092327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41392705)-sin(-1.41394203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156226695526094-0.156211899444605)×R²
    abs(2.56845908-2.56836321)×1.4796081488383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4796081488383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4796081488383e-05×40589641000000     		ar = 9106.3519519585m²