Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59556 / 85084
↖ ↑ ↗
← S 47.212106°
W 16.424561°		 ← 207.47 m → S 47.212106°
W 16.421814°		 →
↑
207.44 m
↓
↑
207.44 m
↓
S 47.213971°
W 16.424561°		 ← 207.46 m →
43 037 m²		 S 47.213971°
W 16.421814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454380035400391 y=0.649143218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454380035400391 × 217)
    floor (0.454380035400391 × 131072)
    floor (59556.5)     		tx = 59556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649143218994141 × 217)
    floor (0.649143218994141 × 131072)
    floor (85084.5)     		ty = 85084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59556 / 85084 ti = "17/59556/85084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59556/85084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59556 ÷ 217
    59556 ÷ 131072     		x = 0.454376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85084 ÷ 217
    85084 ÷ 131072     		y = 0.649139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.09124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28666266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.29827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.937070513772858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28666266} λ = -0.28666266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937070513772858))-π/2
    2×atan(0.391773852022577)-π/2
    2×0.373394817114324-π/2
    0.746789634228648-1.57079632675     		φ = -0.82400669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28666266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.424561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82400669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.212106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59556 KachelY 85084 -0.28666266 -0.82400669 -16.424561 -47.212106
    Oben rechts KachelX + 1 59557 KachelY 85084 -0.28661472 -0.82400669 -16.421814 -47.212106
    Unten links KachelX 59556 KachelY + 1 85085 -0.28666266 -0.82403925 -16.424561 -47.213971
    Unten rechts KachelX + 1 59557 KachelY + 1 85085 -0.28661472 -0.82403925 -16.421814 -47.213971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82400669--0.82403925) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dl = 207.439759999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82400669--0.82403925) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dr = 207.439759999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28666266--0.28661472) × cos(-0.82400669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679286264407345 × 6371000     		do = 207.471509978553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28666266--0.28661472) × cos(-0.82403925) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679262369129288 × 6371000     		du = 207.46421174557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82400669)-sin(-0.82403925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679286264407345-0.679262369129288)×R²
    abs(-0.28661472--0.28666266)×2.38952780570179e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38952780570179e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38952780570179e-05×40589641000000     		ar = 43037.0832687428m²