Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59555 / 85879
↖ ↑ ↗
← S 48.674640°
W 16.427307°		 ← 201.68 m → S 48.674640°
W 16.424561°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 48.676454°
W 16.427307°		 ← 201.68 m →
40 680 m²		 S 48.676454°
W 16.424561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454372406005859 y=0.655208587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454372406005859 × 217)
    floor (0.454372406005859 × 131072)
    floor (59555.5)     		tx = 59555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655208587646484 × 217)
    floor (0.655208587646484 × 131072)
    floor (85879.5)     		ty = 85879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59555 / 85879 ti = "17/59555/85879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59555/85879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59555 ÷ 217
    59555 ÷ 131072     		x = 0.454368591308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85879 ÷ 217
    85879 ÷ 131072     		y = 0.655204772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454368591308594 × 2 - 1) × π
    -0.0912628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28671060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655204772949219 × 2 - 1) × π
    -0.310409545898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.975180348970802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28671060} λ = -0.28671060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975180348970802))-π/2
    2×atan(0.377124333444261)-π/2
    2×0.360631797609413-π/2
    0.721263595218825-1.57079632675     		φ = -0.84953273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28671060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.427307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84953273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.674640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59555 KachelY 85879 -0.28671060 -0.84953273 -16.427307 -48.674640
    Oben rechts KachelX + 1 59556 KachelY 85879 -0.28666266 -0.84953273 -16.424561 -48.674640
    Unten links KachelX 59555 KachelY + 1 85880 -0.28671060 -0.84956439 -16.427307 -48.676454
    Unten rechts KachelX + 1 59556 KachelY + 1 85880 -0.28666266 -0.84956439 -16.424561 -48.676454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84953273--0.84956439) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84953273--0.84956439) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28671060--0.28666266) × cos(-0.84953273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660334124616345 × 6371000     		do = 201.683038658067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28671060--0.28666266) × cos(-0.84956439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660310348514012 × 6371000     		du = 201.675776824418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84953273)-sin(-0.84956439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660334124616345-0.660310348514012)×R²
    abs(-0.28666266--0.28671060)×2.37761023335059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37761023335059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37761023335059e-05×40589641000000     		ar = 40679.9183861698m²