Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59554 / 30940
↖ ↑ ↗
← N 68.435551°
W 16.430054°		 ← 112.24 m → N 68.435551°
W 16.427307°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
N 68.434541°
W 16.430054°		 ← 112.24 m →
12 599 m²		 N 68.434541°
W 16.427307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454364776611328 y=0.236057281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454364776611328 × 217)
    floor (0.454364776611328 × 131072)
    floor (59554.5)     		tx = 59554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236057281494141 × 217)
    floor (0.236057281494141 × 131072)
    floor (30940.5)     		ty = 30940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59554 / 30940 ti = "17/59554/30940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59554/30940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59554 ÷ 217
    59554 ÷ 131072     		x = 0.454360961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30940 ÷ 217
    30940 ÷ 131072     		y = 0.236053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454360961914062 × 2 - 1) × π
    -0.091278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28675853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236053466796875 × 2 - 1) × π
    0.52789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65842497925546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28675853} λ = -0.28675853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65842497925546))-π/2
    2×atan(5.25103384070228)-π/2
    2×1.38261101034897-π/2
    2.76522202069795-1.57079632675     		φ = 1.19442569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28675853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.430054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19442569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.435551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59554 KachelY 30940 -0.28675853 1.19442569 -16.430054 68.435551
    Oben rechts KachelX + 1 59555 KachelY 30940 -0.28671060 1.19442569 -16.427307 68.435551
    Unten links KachelX 59554 KachelY + 1 30941 -0.28675853 1.19440807 -16.430054 68.434541
    Unten rechts KachelX + 1 59555 KachelY + 1 30941 -0.28671060 1.19440807 -16.427307 68.434541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19442569-1.19440807) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dl = 112.257020001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19442569-1.19440807) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dr = 112.257020001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28675853--0.28671060) × cos(1.19442569) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367547572623224 × 6371000     		do = 112.235072897869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28675853--0.28671060) × cos(1.19440807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367563959249359 × 6371000     		du = 112.24007675129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19442569)-sin(1.19440807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367547572623224-0.367563959249359)×R²
    abs(-0.28671060--0.28675853)×1.63866261354562e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63866261354562e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63866261354562e-05×40589641000000     		ar = 12599.4556821968m²