Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59551 / 85876
↖ ↑ ↗
← S 48.669199°
W 16.438293°		 ← 201.66 m → S 48.669199°
W 16.435547°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 48.671013°
W 16.438293°		 ← 201.66 m →
40 676 m²		 S 48.671013°
W 16.435547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454341888427734 y=0.655185699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454341888427734 × 217)
    floor (0.454341888427734 × 131072)
    floor (59551.5)     		tx = 59551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655185699462891 × 217)
    floor (0.655185699462891 × 131072)
    floor (85876.5)     		ty = 85876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59551 / 85876 ti = "17/59551/85876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59551/85876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59551 ÷ 217
    59551 ÷ 131072     		x = 0.454338073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85876 ÷ 217
    85876 ÷ 131072     		y = 0.655181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454338073730469 × 2 - 1) × π
    -0.0913238525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28690234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.31036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.975036538271942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28690234} λ = -0.28690234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975036538271942))-π/2
    2×atan(0.377178571858149)-π/2
    2×0.360679281729271-π/2
    0.721358563458543-1.57079632675     		φ = -0.84943776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28690234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.438293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84943776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.669199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59551 KachelY 85876 -0.28690234 -0.84943776 -16.438293 -48.669199
    Oben rechts KachelX + 1 59552 KachelY 85876 -0.28685441 -0.84943776 -16.435547 -48.669199
    Unten links KachelX 59551 KachelY + 1 85877 -0.28690234 -0.84946942 -16.438293 -48.671013
    Unten rechts KachelX + 1 59552 KachelY + 1 85877 -0.28685441 -0.84946942 -16.435547 -48.671013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84943776--0.84946942) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84943776--0.84946942) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28690234--0.28685441) × cos(-0.84943776) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660405441442821 × 6371000     		do = 201.662746221916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28690234--0.28685441) × cos(-0.84946942) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660381667326018 × 6371000     		du = 201.655486509348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84943776)-sin(-0.84946942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660405441442821-0.660381667326018)×R²
    abs(-0.28685441--0.28690234)×2.3774116802322e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3774116802322e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3774116802322e-05×40589641000000     		ar = 40675.8254966344m²