Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59550 / 85885
↖ ↑ ↗
← S 48.685521°
W 16.441040°		 ← 201.64 m → S 48.685521°
W 16.438293°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
S 48.687334°
W 16.441040°		 ← 201.63 m →
40 645 m²		 S 48.687334°
W 16.438293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454334259033203 y=0.655254364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454334259033203 × 217)
    floor (0.454334259033203 × 131072)
    floor (59550.5)     		tx = 59550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655254364013672 × 217)
    floor (0.655254364013672 × 131072)
    floor (85885.5)     		ty = 85885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59550 / 85885 ti = "17/59550/85885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59550/85885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59550 ÷ 217
    59550 ÷ 131072     		x = 0.454330444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85885 ÷ 217
    85885 ÷ 131072     		y = 0.655250549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454330444335938 × 2 - 1) × π
    -0.091339111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28695028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655250549316406 × 2 - 1) × π
    -0.310501098632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.975467970368523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28695028} λ = -0.28695028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975467970368523))-π/2
    2×atan(0.377015880013873)-π/2
    2×0.36053684475328-π/2
    0.72107368950656-1.57079632675     		φ = -0.84972264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28695028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.441040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84972264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.685521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59550 KachelY 85885 -0.28695028 -0.84972264 -16.441040 -48.685521
    Oben rechts KachelX + 1 59551 KachelY 85885 -0.28690234 -0.84972264 -16.438293 -48.685521
    Unten links KachelX 59550 KachelY + 1 85886 -0.28695028 -0.84975428 -16.441040 -48.687334
    Unten rechts KachelX + 1 59551 KachelY + 1 85886 -0.28690234 -0.84975428 -16.438293 -48.687334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84972264--0.84975428) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84972264--0.84975428) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28695028--0.28690234) × cos(-0.84972264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660191495629701 × 6371000     		do = 201.639476094509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28695028--0.28690234) × cos(-0.84975428) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660167730579939 × 6371000     		du = 201.6322176366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84972264)-sin(-0.84975428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660191495629701-0.660167730579939)×R²
    abs(-0.28690234--0.28695028)×2.37650497613151e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37650497613151e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37650497613151e-05×40589641000000     		ar = 40645.4394626942m²